Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
[А(:г), В (:г')]=0 при (х— я')2 < О, то
WBAC (х2, хи хъ) = WABC (хи х2, х3) при ll = (xi — х2)2 < 0. (18.83)
Для обеих функций WABC (zb z2, z3) и 1УВАС (zl5 z3, z2) множество ?“ < 0
лежит внутри расширенной трубы и образует действительное окружение.
Поскольку две аналитические функции WABC (ziy z2, z3) и И7^-40 (zlf z3,
z2) совпадают в этой действительной окрестности, то они совпадают всюду в
объединении областей их аналитичности. Таким образом, функция WABC имеет
аналитическое продолжение на объединение областей Ш?вс и Ш%ЛС. Аналогично
можно показать, что если [В (х2), С (х3)] —0 при (х2 — х3)'2 < 0, то
функция WACB (z3, z2, zi) равна функции WABC (zu z2, z3), как бы они ни
были определены. Следовательно, функция WABC (zt, z2, z3) аналитична
также в области 91Д4СВ, которую можно получить из области путем
перестановки в (18.81) переменных z4 н z3. Подобное же рассуждение можно
повторить и по поводу функции WCBA (z2, zly z3) и т. д.
Таким образом, локальная коммутативность означает, что все шесть средних
по вакууму WABC (Нь Н2), ... WCBA (— g2, — ?t)
есть граничные значения одной и той же аналитической функции цгавс Z2;
z3), которая аналитична в области Ж2, являющейся объединением трех
областей: области, определяемой при помощи формул (18.81а), (18.816) и
(18.81в), когда и ?3 принимают все значения в трубе будущего, и двух
других областей, получаемых из первой путем перестановок Z3 С Z2 И Zj.
Итак, можно показать, что функция Уайтмана WABC должна быть аналитической
функцией трех комплексных переменных zb z2, zs в некоторой области ЭД?2-
В теории одной комплексной переменной z хорошо известно, что для всякой
области 10 всегда найдется такая функция / (z), что граница 10 будет ее
естественной границей, т. е. / будет аналитична в 11) и будет иметь
особенности в каждой точке границы, так что ее невозможно будет
продолжить за пределы области^. Однако в теории аналитических функций от
большего, чем одна, числа комплексных переменных оказывается, что, вообще
говоря, не всякая область Зп в 2/г-мерном пространстве п комплексных
переменных может служить естественной областью аналитичности для какой-то
аналитической функции. В действительности любую аналитическую функцию,
регулярную в Зп, можно продолжить на некоторую более широкую область,
называемую оболочкой голоморфности. Область, равную ее оболочке
голоморфности, именуют естественной областью голоморфности.
Челлен и Уайтман показали, что объединение областей, получаемых путем
перестановок, [J ®ВЛС U • • ?> не есть область голо-
морфности. Вместе с тем они вычислили эту наиболее широкую область, в
которой аналитична любая функция W (zlt z2, z3), удовлетворяющая
требованиям релятивистской инвариантности, спектральности и локальности.
В теории аналитических функций многих комплексных переменных существует
теорема, в которой утверждается, что всюду внутри такой области эту
наиболее общую функцию W (zb z2, z3) можно представить в виде интеграла
от самой функции, помноженной на некоторое ядро, причем интеграл берется
по некоторым подмножествам меньшей размерности, состоящим из точек
границы. Имея в виду физические приложения, можно было бы надеяться, что
эти подмножества могут быть выбраны соответ-
§ 2. Формулировка Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ) 701
ствующими физическим точкам, т. е. множествам значений аргументов,
которые отвечают действительным векторам и |2. Челлен и Толл [419]
показали, что это действительно так.
Челлен и Вильгельмсон [418] положили начало решению общей задачи
определения области аналитичности функции Уайтмана
(?1, • • • Sn.i) (см- также работы Стритера [743, 744]). Некоторые
частные результаты для случаев п — 4, 5 были получены Бремерманом, Оме н
Тэйлором [84], а также Клейтманом [457]. Важное значение этих
исследований обусловлено тесной связью функций Уайтмана с амплитудами
процессов, форм-факторами и другими наблюдаемыми (так, функция РТО)
связана с вершинной функцией, РГО) — с двухчастичной амплитудой рассеяния
и т. д.). Представление функции W^, которое достаточно прозрачным образом
выявляло бы ее сингулярности (как функции инвариантов разрешенные
условиями локальности, спектральности
и релятивистской инвариантности, могло бы оказаться полезным также в
качестве первого шага в построении нетривиальной последовательной
локальной теории поля.
Очень важно выяснить, какие ограничения на функции W накладывают условия
неотрицательности (т. е. нелинейные соотношения). Однако здесь, сверх
замечаний Уайтмана [852, 854], прогресс был незначительным. Из этих
условий следует, что фурье-образ двухточечной функции РИ(2) должен быть
неотрицательным и не слишком быстро возрастать. Что касается трехточечной
функции, то некоторые ограничения на поведение форм-факторов и вершинных
функций, полученные ЛСЦ [492] (см. также статыо Дрелла н Захариазена
[186]), в сущности являются следствиями неравенств, выражающих
неотрицательность.
