Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
U (а, Л) | ЧГ0> ='| ЧГ0>, ' (17.426)
где U (а, Л)—унитарный оператор, поскольку временные отражения не
рассматриваются, означает, что
(То, ф (х) Ф (у) Т0) = (U (а, Л) То, U (а, Л) ф (х) ф (у) Т0) =
= (Т0, ф (Ля + а) ф (Ay + т) Т0). (17.43)
Если ограничиться «чистыми» сдвигами, Л = /, то из равенства (17.43)
вытекает, что при произвольном сдвиге
ИД2) (х, у) = WW (х + а, у-\-а). (17.44а)
Следовательно, И42> есть функция только разности координат хну, т. е.
W<2>(x, y) = W<2>(x-y). (17.446)
Инвариантность относительно однородных собственных преобразований
означает, что
W^(x-y) = W^(A(x-y)), (17.44в)
откуда следует, что И42> есть функпия только (х — у)2 при
пространственно-подобных интервалах и функции (х — у)2 и е (х — у) — при
вре-мени-подобных и равных нулю интервалах.
Обратимся теперь к свойствам функции которые следуют
из предположения, что состояния системы обладают лишь положительными
энергиями и времени-подобными импульсами. Используя полный набор
состояний | рт), а), Рц, ] р, a) = /v|p, <*)> ГД° а относится к другим
наблюдаемым, характеризующим базисные векторы, равенство (17.41) можно
переписать следующим образом:
0F„, ф (х) ф (у) W0) = 2 <^о|фИ 1р<п\ a)(p(n), а | ф (у) \ W0). (17.45)
lp(n’.a>
624
Гл. 17. Гейзенберговская картина
Далее, выделяя с помощью равенства (17.12) пространственно-временную
зависимость матричных элементов в виде множителя, получаем
(То, Ф (а) ф (у) То) = 2 (Т01 <р (0) | р<п), аХр™, а|ф(0)|Ч''о)е-^<п)-М =
I P(m, а>
== 2 I (^о I Ф (0) I а)\*е-^т-(х-у\ (17.46)
! Р™, а>
Суммирование в (17.46) производится по всем физически различным
состояниям (а) и по всем значениям их полного 4-импульса (рт)). Полный 4-
импульс р™ состояния | р<п), а) определяет массу системы Мт:
= (17.47)
Масса Мт соответствует полной энергии данного состояния в системе покоя
системы.
Введем теперь положительно-определенную величину q (р(п)), определенную
соотношением
е (О = (2я)» 2 I < V0 I Ф (0) I р<"\ а) I2, (17.48)
а
где суммирование проводится по всем состояниям | рслг), а) с
фиксированным значением рт. Легко проверить, что существует
лишь конеч-
ное число состояний с данным значением рт\ так что сумма, определяющая
Q(p<m), расходиться не может. Сделаем два замечания относительно функции
Q(pm). Во-первых, она определена лишь при времени-подобных импульсах и р™
> 0,-поскольку ц™ есть 4-импульс физического состояния. Во-вторых, из
трансформационных свойств матричного элемента (*F01Ф (0) [ р™, а) при
однородных преобразованиях Лоренца
<ЧГ0 1 ф (0) I ptn>, а) = (*F01 ф (0) U (Л-1, 0)|р<п>, а) =
— (V01 Ф (0) | Лр(/!), а') (17.49)
следует, что Q (pw>) = Q (Apin>) есть функция только д(п)2. В итоге можно
написать
е (Р2) е (Ро) Q (Р2) = (2я)3 2 [ < V01 Ф (0) | Р, а) I2. (17.50)
а
Равенство (17.46) переписывается следующим образом:
(V0, <Р (^) ф (у) V0) =- ^ d*pQ (р2) 0 (р0) Q (р2) (17.51)
где суммирование по векторам рт записано как интегрирование по dip.
Так как 0 (р2) можно представить в виде
СО
0(д2)= \idm2b{p2-m2), . (17.52)
о
то окончательно равенство (17.51) можно переписать в виде
^ d*pQ (р0) б (р2 — то2) е-м> ?(*-«).
о
(17.53)
(V0, Ф (х) Ф (у) W0) = г J dm\ (т2)
,\V 2. Спектральное представление Лемана
625
В интеграле по р легко узнать сингулярную (без штриха) функцию А<+) (х—
у; те2), соответствующую массе те. Таким образом,
со
(Vo, ф (х) ф (у) 'P'q) = i dm2Q (те2) A(+) (x — y; те2). (17.54)
и
Чтобы получить полное представление упорядоченного по времени
произведения, используем тот факт, что при х0 > у0
СР0, T(<p(x)<p(y))V0) = (V0, Ф(г)ф(у)У0) =
со
= i ^ dm2Q (те2) Д(+) (х — у; яг2), (17.55)
о
а при у0 > х0
(V0, Т’(«р(а:)ф(у))То)==(ЧГо. Ф (у) Ф (х) ^о) =
СО
= i ^ dm2g (ттг2) Л(+) {у— х\ ?п2) =
о
оо
= — г jj dm2Q (гп2) А(~'(х — у: т2). (17.56)
о
Комбинируя равенства (17.55) и (17.56), имеем (Ф’о, Т (ф (х) ф (у)) ЧГ0)
= J Ар (х - у) =
СО
4j- ^ dm2Q (иг2) Af (х — у; m2j. (17.57)
о
Формула (17.54) позволяет вывести также спектральное представление для
среднего по вакууму от коммутатора:
со
(У,,, 1ф (х), ф(у)]Чг0) = г ^ dm2Q (т2) (А{+> (х - у; т2) + Л('’ (х — у;
те2)) =
D
со
= г ( <7те2д (те2) А (х — г/; те2). (17.58)
о
Заметим, что при выводе этих спектральных представлений не было сделано
никаких допущений динамического характера, кроме предположения, что
полный набор состояний | р, а) характеризуется лишь времени-подобными или
изотропными 4-импульсами (РцРц>0 при р0> 0). Вез всяких предположений
относительно перестановочных соотношений для операторов ф (х) и ф (у)
было получено, что среднее по вакууму от коммутатора [ф(ж), Ф (у)]
равно нулю при пространственноподобных интервалах, так как функция А (х
— у; те2) обладает этим
свойством при всех те2.
Изучим теперь несколько полнее структуру спектральной функции Q(p2). Для
этого необходимо определить спектр физических состояний
40 с. Швсбер
626
Гл. 17. Гейзенберговская картина
точнее, чем требовалось до сих пор. Так как мы будем рассматривать теорию
