Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 274

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 268 269 270 271 272 273 < 274 > 275 276 277 278 279 280 .. 373 >> Следующая

(17.100а)
Матричный элемент оператора q>K (х) между произвольными физическими
состояниями также будет конечным. Перенормированная весовая функция
Qr (Р2) = (2л)3 2 | <Т01 Фн (0) | р; а) |2 (17.1006)
ОС
просто связана с неперенормированной:
Qr (Р2) = Z?Q (Р2)- (17.101)
Так как фн (х) — перенормированный оператор поля, то вычисления
Qr (Р2) можно провести, не сталкиваясь с расходимостями. Записанное с
помощью перенормированных величин равенство (17.69) имеет вид
со
1+ J oa(ma)dm* = Z;\ (17.102)
(з'ц)2
Отметим также, что перенормированные операторы удовлетворяют следующим
перестановочным соотношениям:
[фя(я)> Фн (У)] = 0 при (х — у)2< 0, ' (17.103а)
[ЗоФн(а:), фн(у)]*о=и= -iZ?б(3)(х-у). (17.1036)
Для спинорных полей можно разработать, технику, аналогичную примененной
при вычислении вакуумного среднего от двух бозонных полей (Уайтман, 1953
г., не опубликовано; Леман [490]; Гелл-Манн и Лоу [304]). Обозначим
среднее по вакууму от произведения двух спинорных полей (фермионную
двухточечную функцию Уайтмана) через
(*_?/) = (Тс, Т«(*)й>(0)То). (17.104)
Здесь мы уже использовали трансляционную инвариантность теории,
записав W^' как функцию х — у. Так как при однородных преобразова-
§ 2. Спектральное представление Лемана
635
ниях Лоренца
U(0, Л)|ЧГо) = |ЧГо), (17.105а)
4
U(0, Л) фа (х) U (0, Л)-1 = 2 ^(Л)%(Л*), (17.1056)
p=i
то
Wto (*-?/) = 2 (Л) W& (Л (х - у)) Абр (Л). (17.106)
ер
Далее можно разложить W'i’ по шестнадцати линейно независимым матрицам
Г(*), образованным из матриц у и их произведений:
И^р (*) = 2 [r“)]«pW?i) (X). (17.107)
г—\
Разделяя матрицы Г({) на группы с определенными трансформационными
свойствами, имеем "
(х) = 6aSiWt (х) + (x) + (y*U Wt {x) +
+ \ w\v (x) +«(YV)ap^ (*)• (17.108)
Подставляя (17.108) в (17.106), используя S (Л)-1 y^S (A) = Avyv и
вычисляя нужные следы, найдем
П7|(ж) = ^(Лл;), (17.109а)
W^M(a:) = AirlvW^v(Aa:), (17.1096)
W^v (х) = A;iQA7uW^0x (Ах), (17.109b)
Wt» (x) = (det A) A^ lvWlv (Ax), (17.109r)
Wj(a:) = detA.W^(Aj:). (17.109д)
Полученные соотношения оправдывают введенные обозначения: S (скаляр), V
(вектор), 'Г (тензор), А (аксиальный вектор) и Р (псевдоскаляр).
Комплексно сопрягая обе части равенства (17.104), получаем
Wtp (х-у) = (То, фа (х) % (у) То) = (То, (ф« (х) % (у))* То) = = 2 Ypp
(То, фр (у) фг (х) Т0) Уы =
рЛ
= 2\рР<я(?/-*Ы* (17.110а)
рА,
или
И/1’(л;)* = у0И/,)’(-л;)уо. (17.1106)
Далее, так как [Г(Р]* у0 = ГО), то
W%)(x) = W^(^x). . (17.111)
Применение РТ ( = С) и Г-инвариантности вместе с равенствами
(17.105) —
(17.111) показывает, что Wp, и равны нулю и, следовательно,
W*# (X) = 6aftTKf (X) + (Y^)aP^ (х). (17.112)
636
Гл. 17. Гейзенберговская картина
Используем далее спектральные условия. Вводя в равенство (17.104) полный
набор состояний | р, а), находим
2 <ЧГ0|Ч»Р (0)|р, а)<р, о|фо(0)|Т0>е-*Р-(*-»). (17.113)
!Р,а>
Обозначив сумму по различным состояниям |р, а) с фиксированным 4-
импульсом р^ через wpa (р):
0 (Р2) 6 (Ро) wpa (р) — (2л)3 2 (Ч’о I Фр (0) | р, а) (р, а!фа(0)!^0),
(17.114)
а
можно написать
wpa (х) = ^ й1ре-^-(х-уЩ (р0) 0 (р2) wpa (р), (17.115а)
где
Wpa (р) = бpnWS (р) + (у6)(Ю WV)1 (/)). (17.1156)
Условия ковариантности [равенства (17.109а) —(17.109д)|, выраженные через
функции wVVL(p) и Ws(p), гласят:
ws(p) = ws(Ap), (17.116а)
Wvu(P) = A~ivwVv (Ар). (17.1166)
Из (17.116а) следует, что (р) = wa) (р2). Равенство (17.1166) утверждает,
что Wyli(p) для всех р на гиперболоиде р2 = Х2 можно получить из Шуц (к,
0). Кроме того, Wvp.(k, 0) есть 4-вектор, инвариантный относительно всех
преобразований Л, которые оставляют инвариантным вектор (А,, 0), т. е.
относительно всех вращений. Поэтому Wyi(k. 0)=0 при i=l, 2, 3 и
Wvu (Р) = P»w\.2) (р2), (17.117)
так что окончательно (х) можно выразить следующим образом:
W* (х-у) = ij ^ре-^ ^-уЩ (р0) 0 (р2) (wm (р2) + \ • ра\.2) (р2))
СО
= /. ^ dm2 {wa) (т2) + wr2) (т2) iy-д} Д<+) (х — у, т2). (17.118)

Переопределяя весовые функции:
щ(1) — mwi2) = е,,,, (17.119а)
щ(2) = р(11, (17.1196)
можно написать
^ (х — у) — (W0, ф (х) if (у) ^о) =
СО
= dm2{Qa) (да2) ( — iS(+’(x -y, т))-\- g(2) (т2) гД<+) (х— у\ т2)).
(17.120) о
Из сравнения равенств (17.114), (17.1156) и (17.119) можно заключить, что
весовые функции р(1) и р(2) действительны и что в мезонной теории (где
норма любого состояния положительна) эти функции удовлетворяют следующим
условиям положительной определенности: q(1) (т2) > 0.
ImQi (т2) > р(2) (т2) > 0. В квантовой электродинамике отсутствие
положительной определенности скалярного произведения Гупта не позволяет
вывести эти заключения.
§ 2. Спектральное представление Лемана
637
Как и для бозонов, опять можно получить <4V Т (ф (х) ф (у)) XF0) = —S'f
(х — у) (17.121а)
с с-
= dm2 {wa) (rri2) 4- ш(2) (яг2) iyt* d^} Af (x — y\ тпг).
(17.1216)
Обозначая фурье-образ S'F(x—y) через S'F(p), имеем
,:o
“4 s'y (P) = i\dm2 (ш(1) (m2) + у ? pwi2) (m2)). (17.122)
n
Удобно ввести две новые функции, /гш (яг2) и /г(2) (яг2), определенные
Предыдущая << 1 .. 268 269 270 271 272 273 < 274 > 275 276 277 278 279 280 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed