Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
а(|Чг) = 0. (17.3а)
Кроме того, физически реализуемые состояния системы удовлетворяют
дополнительному условию
(^Ам-(х))<+)|?) = 0. (17.36)
Это дополнительное условие релятивистски инвариантно, ибо оператор
Э^А^Дх) в силу уравнений движения (17.1) и (17.2) удовлетворяет уравнению
? (сДА^ (х)) = 0, и, следовательно, разбиение на положительные и
отрицательные частоты имеет смысл и инвариантно. Уравнения движения
(17.1) и (17.2) можно вывести из плотности лагранжиана
1 9А,, (х\ ядК (х) А ~
% (*)= — ----^ у (-ДЧг + ^Ж*)] “
— j [id^ (х) ^ + нгф (х), г|?(ж)] + у (х) У (Д1 Ач (х) +
-г у бнг (х), (х)\ = %ЕМ+ %d+ Xi. (17.4)
Невозможно написать перестановочные соотношения для гейзенберговских
операторов, которые были бы справедливы при всех временах. Для этого
потребовалось бы знать решения уравнений движения (17.1) и (17.2) для
любого момента времени. А это фактически та самая задача, которую нужно
решить. Однако из лагранжиана можно получить канонические перестановочные
соотношения, которые справедливы для операторов при равных временах2):
]ф(х), $(?')]+1*0=*' = У°б<:|)(х-х') (17.5а)
И
[Ац(х), <J'AV (х')]Ж(_.т'= — iKcg^b™ (х — х'). (17.56)
Другие коммутаторы (антикоммутаторы) равны нулю. Эти перестановочные
соотношения можно обобщить на произвольные пространствен-
х) В этой главе для обозначения гейзенберговских операторов и векторов
состояний будет использоваться жирный шрифт.
2) Относительно современных методов получения перестановочных соотношений
см. [636, 716, 717, 720, 94, 134].
§ 1. Средние по вакууму от гейзенберговских операторов
615
но-подобные интервалы [711]. Тогда они имеют вид
[ф(ж), ф(а:')|^ = — iS(x-x’), (17.6а)
[Ар, (ж), Ау{х')\= —ibcg^.D (х — х ), (17.66)
[ф(ж), ф (х')]+= [ф (х), ф(ж')]+ = 0, (17.6в)
[г]) (ж), Ар (а:')] = [-ф (а:), Ар(х')]=0 (17.6г)
при (х — х')2 < 0.
Лагранжиан дает также возможность построить тензор энергии-импульса TpV,
с помощью которого можно определить 4-вектор энергии-импульса Рм и тензор
момента количества движения MpV. Операторы Рр и MpV являются
соответственно генераторами бесконечно
м
малых сдвигов и однородных преобразований Лоренца: U (а, 1):= elav- ,
U (0, А) = e/iA^vM . Временная компонента Р0 оператора сдвига Рр есть
гамильтониан системы. При преобразованиях Лоренца {а, А} операторы поля ф
(х) и Ар (ж), по определению, подчиняются следующим законам
преобразования:
3
U (а, А) Ар (х) U (а, А)_1 = У А11 (Ах + а), (17.7а)
v=0
4
U (а, Л) фа (х) U (а, А)~1 = 2 ^ (Л) ф3 (Ах + а), (17.76)
P=i
где соответствие A—>S(A) есть обычное (с точностью до множителя)
спинорное представление однородной группы Лоренца резмерности4х4, a U(a,
А)’естьунитарное (или антиунитарное, когда А“ < — 1) представление группы
Лоренца в гильбертовом пространстве физически реализуемых состояний
системы. Равенства (17.7а) и (17.76) характеризуют ф (х) как спинорное
поле, а Ар (я) —как векторное. Генераторы бесконечно малых преобразований
сдвига и вращений удовлетворяют следующим соотношениям коммутации:
[Р„, Pv]=0, (17.8а)
[Рц, МхЛ]=*(?цХРл—gn*Px), (17.86)
[МхЯ.? MpV] = i (^A,|xM}<v “Ь gxvM.p sA,vMX|x), (1 ^ -8b)
которые совпадают с соотношениями структуры неоднородной группы Лоренца,
обеспечивая, таким образом, лоренц-ковариантность теории. Равенство
(17.8а) выражает сохранение полной энергии и импульса системы полей.
Операторы Рд являются операторами сдвига в пространстве-времени и при
бесконечно малом сдвиге на величину бяя вызывают в операторе F (х)
изменение
или
?1ба:>ЧРц, F (ж)] = 6F (х) ' (17.9а)
?« [Рц, F (г)] «= 3^(1). (17.96)
В последних равенствах F (х) —произвольный гейзенберговский оператор,
который зависит от х только через посредство операторов А.„-(ж)
Я lf(l).
616
Гл. 17. Гейзенберговская картина
Поскольку все операторы коммутируют друг с другом, можно выбрать
представление, в котором каждый базисный вектор является собственной
функцией всех Рй (ц = 0, 1, 2, 3,) с собственным значением Рц!
Pll|4fa> = /C|4''u>. (17.10)
Каждый такой вектор | 'Ра) описывает стационарное состояние и имеет
определенные приписываемые ему энергию и импульс. Однако, зафиксировав
энергию и мпульс, мы не определяем состояние однозначно. Нужно задать и
другие квантовые числа, например полный заряд. Обозначим через а
собственные значения, которые вместе с р™ образуют полный набор
наблюдаемых величин. Для обозначения состояний системы мы часто будем
использовать символ | р, а). Здесь р обозначает импульс состояния, Рй |
р, а) = />ц|р, а), а а —другие квантовые числа, которые необходимы, чтобы
определить состояние.
Матричный элемент коммутатора Р„ и F (х) в импульсном представлении,
использовав (17.96) и (17.10), можно записать в виде
i(Wa, [F (х), Ptl] '?b) = i(plb}-Pla))('lra, F(x)Wb) =
= -d^iWa, F(x)Wb), (17.11)
откуда
(4Ta)F(*)4fb) = (Ta, F(0)'Fb)e-i(p(i,-Va,>- (17.12)
В равенстве (17.12) F (0) есть оператор F (х), взятый в точке х = 0. Это
равенство выражает зависимость от х матричного элемента произвольного
