Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
[818] показали, что без каких-либо существенно новых
606
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
усложнений можно перенормировать комбинацию взаимодействий мезонного,
нуклонного, фотонного и электронно-позитронного полей.
Вычитательные методы были развиты в настоящей главе на основе обычного
представления взаимодействия и применялись только для устранения
расходимостей ^-матрицы. Существуют и другие методы устранения
расходимостей. Например, по аналогии с контрчленом перенормировки массы
можно ввести в лагранжиан контрчлен, компенсирующий эффекты
перенормировки заряда. Тогда с самого начала можно работать прямо с
перенормированным зарядом, подобно тому как работают с перенормированной
массой. Такую формулировку развил Гупта [343]. (На самом деле в
формализме Гупты перенормировка заряда представлена как перенормировка
единицы измерения электромагнитного поля, а не как цере-нормировка
константы связи.) Такеда [767] использовал вариант метода Салама для
вывода требующихся контрчленов. Превосходное изложение этих методов дано
в статье Мэтьюза и Салама [545], где, кроме того, аналогично ясным и
простым образом рассмотрены проблемы мезонных взаимодействий. Все эти
методы эквивалентны в том смысле, что они связаны друг с другом при
помощи (неограниченных) «унитарных» преобразований.
Для иллюстрации этого метода рассмотрим случай нейтрального
псевдоскалярного мезонного поля, взаимодействующего с фермионным полем.
Лагранжиан теории имеет вид
X = — ~ : ц2ср2 (х) + dvcp<^cp (х) : — [ф(ж), ( — iy-d + M) ф (х)] —
— j №${*?) + ф (я)] + у ЬМ [ф (х), ф(ж)] —
— ~G[^{x) Ys, ф (ж)] ф (х) — у 6ц2: ср2 (х) : - 6Z: ф4 (х): , (16.148)
где члены с 6р.2, 6 М суть контрчлены перенормировки массы,
а 6Х :ср4 (х): — контрчлен мезон-мезонной расходимости. Определим теперь
«перенормированные» операторы срн и фк и перенормированную константу
связи Gr:
tf(x) = Z\\H(x), (16.149)
ф (х) = Z\ 2ф,; (х), (16.150)
G = Z~iZ~lltZlGR. (16.151)
Константы перенормировки Z4, Z, и Z3 запишем в виде
Z, = 1 — L, (16.152)
Z2=1 + j5, (16.153)
Zs = l + C, (16.154)
где L, В и С — бесконечные константы, аналогичные величинам ?(«)), В (е{)
и С (еi), встречавшимся в электродинамике. (Только в данном случае L Ф В,
так как здесь нет тождества Уорда.)
§ 8. Общие замечания
607
Лагранжиан (16.148), выраженный через перенормированные величины, можно
записать в виде
X = X од -J- %щ, (16.155а)
где
Хо= M'2cP?i (x)+dv(fRdv(fR (х): — ~ [фд (а;), ( -
iy <? + М) фн (а;)] -
1
L
Кдцфн (х) у^ + Мфн (х), фд(л;)], (16.1556)
Хг-—^С: (р2ф2н + dv<pKdv(pK): — [фд (а:), ( — iy-д f М) фд (а:)] —
— jB [гуцфд (х) Vй + Мфд (a:), фд (*)] — -1 6p2Z3: ф^ (х): —
j6MZ2 [фд (х), фд (а:)] - b%Z\: ср4к (x):—ZiGR ~[фд (х) у5, фд (а:)] фд
(х).
(16.155в)
Лагранжиан Х0 определяет новую «перенормированную» картину
взаимодействия, в которой перенормированные операторы фд и фд
удовлетворяют уравнениям движения и перестановочным соотношениям для
свободных полей. Новые контрчлены в Хг точно компенсируют все
расходимости, к которым приводит взаимодействие1).
Вкратце обсудим ограничивающие предположения, в рамках которых теория
перенормировок излагалась до сих пор. Первое и наиболее существенное —
то, что все исследование выше (например, дайсоновский анализ примитивных
расходимостей) существенно опиралось на разложение 5-матрицы в ряд по
степеням константы связи. Кроме того, при этом молчаливо предполагалось,
что ряд, в который разложена «S'-матрица, сходится после проведения
перенормировок. Известно, что в теории, в которой существует возможность
захвата в стационарные связанные состояния, ряды после перенормировки
расходятся [245, 577]. В этом случае ряд теории возмущений для амплитуды
расходится даже в нерелятивистской квантовой механике [403]. Причина
расходимости рядов в релятивистской теории поля та же самая. Ферретти
[245] провел подробное исследование этого вопроса. Он анализировал
унитарный оператор
со tn
^(0=П{1“Х$ МО<**'},. (16.156)
11=0 tn +!
где t0, К. • • • in — последовательность времен от —со до t, в пределе
становящихся бесконечно близкими друг к другу. Оператор V(t) диагона-
*) Обсуждение следствий того факта, что к постоянным Zlt Z2 и Z3 всегда
можно добавить конечные части, не меняя при этом наблюдаемых следствий
при соответствующем переопределении константы связи, читатель может найти
у Штюкельберга [922],
Гелл-Мана и Лоу [304], а также Боголюбова и Щиркова [64, 67] (особенно
см. гл. VIII книги [67]). (Применение этой группы преобразований, так
называемой ренормгруппы, в физике высоких энергий см. в работе [880].—
Прим. ред.)
608
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
лизует полный гамильтониан Н0 -f kHj, т. е. он выбран так, чтобы оператор
Е (X) = V"1 (t) (Н0 + XHj) (t) V (t) (16.157)
был диагоналей в представлении, в котором диагоналей гамильтониан Н0. В
выражении (16.156) Ферретти явно отразил адиабатическую гипотезу,
допустив, что константа связи к является функцией времени, к = k(t).
