Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
в пределе при ? —>k2+ie:
lim A'f(S) = A ’F(k2). (17.73)
?->fc2-fje
Из выражения (17.72) видно, что в плоскости комплексной переменной ?
функция Ар (?) имеет полюс на действительной оси при ? = р2 и точку
ветвления при ? = (3р)2, причем разрез идет по положительной
действительной оси от (Зр)2 до -{-со. В остальной части плоскости Ар (?)
ана-
§ 2. Спектральное представление Лемана
литична. Отмстим также, что если положить ^ = т0
(Т (те2) (I — те2) (? — ™2)2 + Т]2
СО
7 __________________________
I М'2)2 1
р ^ dm2
(I— те2)2-]-ц2
а (те2) г)
] , (17.74)
(Зц)2
так что 1тДНУ имеет знак, противоположный знаку Im?, и отлична от нуля
при Im ? Ф 0. Следовательно, функция Д)? (?) не обращается в нуль при
комплексных значениях ?. Она может иметь нули на действительной оси и
только при ? > 0. Скачок функции Д),- (?) при переходе через линию
разреза есть
Используя (17.756), равенство (17.72а) можно записать в виде соотношения
Это дисперсионное соотношение для функции Д^ (/с2) получено независимо от
теории возмущений и является точным следствием теории поля, так как оно
следует из предположений спектральности и релятивистской инвариантности
теории. Заметим, что уравнение (17.76) не определяет функцию Ар (к2) (все
бозонные функции распространения «разумных» теорий поля будут ему
удовлетворять), а лишь кратко выражает ее аналитические свойства, которые
следуют из физических предположений.
Результаты для бозонной функции распространения, полученные до сих пор,
не зависят от каких-либо специальных динамических предположений. Далее мы
выведем некоторые соотношения, которые уже являются следствиями
специальных допущений динамического характера. Первое из этих соотношений
— связь между «голой» и физической массами бозона. Рассмотрим опять
нейтральную псевдоскалярную мезонную теорию, которая описывается с
помощью операторов ф и (р, удовлетворяющих уравнениям
где ц0 и Мо — массы «голых» квантов. Одновременные коммутаторы для
операторов ф и (р такие же, как и ранее [см. равенства (17.6а) (17.6в),
(17.67) и (17.70)]. Вспомним также, что при равных временах ф п (р
коммутируют. Если подействовать оператором [Пж+Ро на среднее
или
Im Д), (? -Не) = — яZ36 (? — и2) - я0 (? — 9ц2) о (|). (17.756)
-4-00
(17.76)
— со
(? + Ро) Ф (х) = -дг G [ф (х) Уь, Ф (ХУ\ <Р (х) - - л (х) (17.77)
и
(— iy ? д + Мо) Ф (х) = Gy 5ф (х) ф (х),
(17.78)
630
Гл. 17. Гейзенберговская картина
по вакууму от коммутатора [<р (х), ф (у)], то получим
(?* + Ро) (Тс [Ф(*),Ф(У)]Т0) = (ЧГ0, [J(х), ф (у)] Т0) =
со
= i (?* + Ю \ dm2Q(m2) А (ж —у; т2) =
о
со
= i ^ dm2q (т2) (р2 — т2) А (х—у, т2), (17.79)
о
так как ПаД(я— у; т2)— —m2k(x — y, т2). Если равенство (17.79)
продифференцировать по ж0, положить ж0 = г/0 и заметить, что при равных
временах ф (у) коммутирует с J (х) и д03(х), т. е. с if (ж) и <30ф (я)
[что не противоречит уравнению (17.78)], то получим
со
) dm2 q (m2) m2 оо
и2 = = Z3p2 + ^ иг2о (иг2) dm2, (17.80а)
) dm2 q (m2) (Зр.)2
0
так что
со
р2 — р2 = ^ dm2 q (иг2) (иг2 — р2) ? (17.806)
о
ОО
= ^ dm2 q (иг2) (т2 — р2). (17.80в)
и'2
Поскольку функция Q (иг2) положительна, равенство (17.80в) показывает,
что «голая» масса больше физической1).
Рассмотрим далее асимптотическое поведение Дф (к2) при больших импульсах,
или, что эквивалентно, поведение Дф (х) при малых значениях х. Из (17.71)
следует
со
lim Дф (к2) = lim \ dm2 —------------— я»
. *2— J *2(1__g_ + ie)
СО
* Л™ \dm'8(m!) Фу1 +ж± ?? •)~
-ж(1+§±...Ьр=Чт-+о(А). (17.81)
Таким образом, при больших импульсах или малых пространственно-временных
расстояниях поведение бозонной функции распространения определяется
«голой» массой бозона.
х) При наличии в лагранжиане контрчлена Я(р4 равенства (17.80)
справедливы только в том случае, когда операторы соответствующим образом
упорядочены. Если уравнение движения для бозонного поля имеет вид
(?+Ро) Ф(я) = у G [Ф (*) Vs. Ф (х)1—^ [<Р3 (г)—Зф (х) (ф2 (*)>„], где (ф2
(х)>0= (То ! Ф2 (х) I Ф"о>, т0 получаются равенства (17.80).
§ 2. Спектральное представление Лемана
631
Наоборот, при малых импульсах или при больших временах и больших
пространственных расстояниях преобладает полюсной член, так что
lim (fc2) ^ • (17.82)
V *2-р2 + 18 v '
По существу А'р (х — х ) есть бозонная функция распространения с учетом
всех радиационных поправок. Если в равенстве (17.81) с помощью
преобразования Фурье перейти к конфигурационному пространству, то получим
функцию распространения в пределе при х — х'—>-0. Это дает возможность
рассчитать амплитуду вероятности того, что бозе-квант, локализованный в
момент времени я'0 в точке х', через короткое время в момент х° будет
обнаружен в точке х с помощью идеализированного, почти мгновенного
измерения. Равенство (17.81) говорит о том, что при таком мгновенном
эксперименте взаимодействие не успевает оказать влияния и поэтому
распространение кванта описывается с помощью «голой» массы. С другой
стороны, при больших временных интервалах, соответствующих реальному
