Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, ковариантность требует также, чтобы CliV = Cgllv, так что
Z3 = l+C, (16.129)
причем величина Cg^v дается формулой (16.1286).
§ 6. Доказательство перенормируемости,
601
Итак, мы показали, что соотношения (16.111) — (16.113) верны, если
постоянная дается выражением (16.114) и если множители Z
опреде-
лены соотношениями (16.125), (16.126) и (16.129).
Чтобы продвинуться дальше в понимании процедуры перенормировок, вспомним,
что собственно-энергетический оператор после перенормировки массы можно
записать в виде
У.*(р) = 2лВ(у-р — т) + $с(р) (у-р — т) (16.130)
[см. формулу (16.71)], где оператор Sc (р) обращаетсяв нуль при у-р — т.
Соотношения (16.130) и (16.87) позволяют заключить, что функция
распространения представима в виде
S'p (р) 1
он (p) — z-(p)
= т) =
= т), (16.131)
SF1 Ы-2*(,Р)
1 1+D (Члены,
2я Y • р — т 1
1 + (Члены,
так что
lim 2я (у-р — т) S'Fl {р\ е4) = 1. (16.132)
Y* р->тп
Аналогично можно проверить, что
Гц(Р1,Рг) = (16.133}
И VPi=V-P2=m
lim 2nk2D'Fi (k) = 1. (16.134)
Эти соотношения означают, что к движению свободного электрона или фотона
нет наблюдаемых радиационных поправок ни в каком порядке по константе
связи. По сути дела эти соотношения можно рассматривать как определения
перенормировки массы и заряда, выражающие требования, чтобы свободный
(физический) электрон имел определенную массу т (экспериментальное
значение массы электрона) и определенный заряд е± (экспериментальное
значение заряда электрона) и чтобы свободный фотон двигался в свободном
пространстве без возмущений и обладал массой, равной нулю.
Теперь обратимся к соотношениям (16.35). Вспоминая, что вектор р в этих
соотношениях есть импульс свободного электрона и что вблизи у-р = т
(р) — 2л (Z2 — 1) ("У -р — т), (16.135)
мы можем переписать соотношение (16.35) в виде
?ф' (р) = ф(р) + 2л (Z2 - 1 )SF(p)(yp-m)\p (р). (16.136)
Выражение (16.136) содержит неопределенность, поскольку при действии
оператора у-р — т. на спинор ф (р) получается нуль, а при действии его на
функцию распространения SF (р) — постоянная 1/2я. Таким образом, в
зависимости от порядка, в котором перемножаются множители, выражение
(16.136) для ф'(р) оказывается равным либо ф(р), либо Z2ty(p). При
обсуждении в § 3 гл. 15 мы уже видели, что эта
неопределенность раскрывается, если вычисления A-матрицы проводятся с
большей тщательностью, так чтобы на всех этапах вычислений была
<502
Гл. 16, Количественная теория перенормировок
гарантирована унитарность А-матрицы. Укажем, что на самом деле правильная
перенормировка волновой функции записывается в виде
У(р) = &№(р) (16.137)
(см. также работу Карплуса и Кролла [422]). Аналогичные исследования
показывают, что
rf'(p) = Z1/^(p) (16.138)
и
A^(*) = Z13/2Atl(A). (16.139)
Рассмотрим теперь неприводимый матричный элемент М для какого-либо
процесса. Пусть соответствующая диаграмма состоит из Fe внешних
электронных линий, Ве внешних фотонных линий и п вершин. Тогда в
соответствии с анализом, проведенным в настоящем параграфе, матричный
элемент М будет содержать п множителей Г^, Fe множителей ф или ф, Ве
множителей A, Ft множителей S'F, соответствующих F, внутренним
электронным линиям, и Вг множителей D’F, соответствующих
внутренним фотонным линиям. Напомним, что числа внутренних
и внешних линий связаны соотношением
п = уВе + Вг = Ве + 2Вг. (16.140)
Поэтому если в матричном элементе М заменить операторы Гф, S'F и D'F их
конечными прообразами Гфь S'Fi и D’Fy с помощью соотношений (16.111),
(16.112) и (16.113), тогда множители Z будут появляться в матричном
элементе только в комбинации
(Z.Z^ZJ/*)".
А это именно тот дополнительный множитель, который превращает общий
множитель еп матричного элемента М в множитель е™. Таким образом, и
константа связи е, и множители Z исчезают из матричного элемента М,
оставляя после себя только конечные операторы Гф4 (et), Dpi (ei), SFi
(e4) и константу et. Если теперь отождествить константу с наблюдаемым
конечным зарядом электрона, то в матричном элементе М больше
не останется никаких расходящихся выражений.
Так как матричный элемент М предполагался совершенно общим, то
тем самым завершено полное исключение всех ультрафиолетовых расходимостей
из A-матрицы ф.
Этот параграф мы окончим замечанием, что равенство Z1 = Z2 [соотношение
(16.126)] снова свидетельствует о сокращении (во всех порядках)
расходимостей, приводящих к перенормировке волновой функции, с
расходимостями вершинной части. Это прямое следствие тождества Уорда и
тем самым калибровочной инвариантности. Таким образом, единственной
подлинной расходимостью в квантовой электродинамике является расходимость
собственной энергии фотона, т. е. расходимость, связанная с явлением
поляризации вакуума. Она выражается расходящейся константой Z3.
!) Инфракрасные расходимости и их сокращение в рамках программы
перенормировок обсуждаются у Яуха и Рорлиха [390] и Йенни, Фраучи и Суура
[875].
§ 7. Смысл перенормировки заряда
