Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
принимается система бессмысленных уравнений, с которыми далее для
получения (предположительно) конечных результатов манипулируют по
правилам, лежащим вне рамок традиционной математики (не говоря уже о том,
что эти предписания, как это изложено в настоящей главе, рассчитаны
только на применение к решению «бессмысленных уравнений» с помощью
разложения в степенные ряды, которые, по всей вероятности, даже не
сходятся!).
В действительности Челлен [409] и Валатин[799—803] дали обобщение метода
перенормировок, освободившее его от ограничительности, связан-
0 Этот аргумент, по-видимому, не вполне убедителен, поскольку
отрицательность е2, т. е. мнимость константы связи в первоначальном
лагранжиане, означает, что лагранжиан неэрмитов и что, следовательно,
вероятности не обязательно сохраняются.
39 с. Швебер»
610
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
ной с использованием рядов теории возмущений. Важный шаг, имеющий целью
придать более строгий математический смысл операциям, применяемым при
осуществлении программы перенормировок, был сделан Кайаньелло [96—104].
Он подчеркнул то обстоятельство, что поскольку мы имеем дело с системой
гиперболических дифференциальных уравнений, то интегралы в выражениях,
представляющих решения этих уравнений, должны быть переопределены.
Известно, что непосредственное использование обычного интеграла Римана
для решения гиперболических уравнений может порождать расходимости,
которые исчезают, если изменить определение интеграла (пример — «конечные
части» Адамара [897]). Кайаньелло пришел к выводу, что при подходящем
переопределении интеграла можно полностью обойти проблему перенормировки
ультрафиолетовых расходимостей.
Однако даже эти усовершенствованные методы не дают ответа на главный
вопрос современной квантовой теории поля: существуют ли решения
перенормированных уравнений — и если существуют, то каковы их ана-
литическир свойства как функций перенормированной константы связи?
Соображения, выдвигавшиеся в качестве ответа на эти вопросы, будут
приведены в следующей главе.
Часть четвертая
ДАЛЬНЕЙШЕЕ
РАЗВИТИЕ
ФОРМАЛИЗМА
ГЛАВА 17
Гейзенберговская картина
Свойства релятивистских теорий поля, выведенные в гл. 14—16, были
получены в картине взаимодействия на основе теории возмущений, В
настоящей главе мы выведем некоторые важные свойства релятивистских
теорий поля, используя для описания системы полей гейзенберговскую
картину. При этом решающую роль будут играть соображения, основанные на
релятивистской инвариантности теории, что объясняет предпочтительное
положение гейзенберговской картины, поскольку именно в этой картине
релятивистская инвариантность квантовой теории формулируется наиболее
просто. В принципе причина такого положения заключается в том, что
гаредингеровская картина и дираковская картина имеют дело с описанием
экспериментов, относящихся к одному моменту времени в используемой
инерциальной системе. В общем случае результаты таких экспериментов
трудно выразить через результаты аналогичных экспериментов в других
инерциальных системах. Кроме того, для определения состояния,
относящегося к определенному моменту времени, нужно иметь возможность
определить полный набор коммутирующих наблюдаемых, которые соответствуют
совместимым экспериментам в один и тот же момент времени. Поскольку не
ясно, существует ли такой набор для релятивистских систем полей, может
оказаться, что состояние, относящееся к определенному моменту времени, в
этом случае вообще невозможно определить.
До сих пор мы касались главным образом описания «чистых» процессов
рассеяния, когда частицы рассматриваются как свободные в начале и в конце
процесса. Для этого случая была развита теория /S'-матрицы. Такая точка
зрения соответствует описанию результатов измерений, относящихся к
асимптотическому поведению системы. Однако существует другой класс
физических свойств, которые нельзя, описать, если известна только /S’-
матрица для рассеяния свободных (в начале и в конце процесса) частиц.
Например, зная/S'-матрицу, мы еще не можем определить связанных состояний
системы [899] и предсказать результаты возможных локальных измерений,
таких, как измерение плотности заряда и тока или напряженностей поля в
некоторой области пространства-времени [69, 70]. Таким образом, для
рассмотрения подобных задач изложенный до сих пор формализм должен быть
обобщен. Мы увидим, что именно для таких задач хорошо приспособлена
гейзенберговская картина.
614
Гл. 17. Гейзенберговская картина
§ 1. Средние по вакууму от гейзенберговских операторов
Гейзенберговская картина определяется тем, что вектор состояния в этой
картине постоянен во времени, а всю зависимость от взаимодействия несут
операторы. В квантовой электродинамике операторы поля1) в
гейзенберговской картине удовлетворяют следующим уравнениям движения:
(i'Yn ^ ~ т) Ч* ix) — ~~ (х) — еУчАм" (х) Ч* (х)> (1^-1)
? Ац(х) = jn(х) = —Ц)(х)]. (17.2)
Гейзенберговский вектор состояния системы j'F) от времени не зависит:
