Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
со) Ф0)
(17.35а)
= (Фо, и ( + со, t} ф (х} и («1, t2) ф (х2) и («2, — оо)Ф0)
(17.356)
= (Ф0, T(U (+со, t} ф (х} U (ti, t}q>(x}U(t2, — со))Ф0)
(17.35в)
= (Ф0, T(U(+ оо, — со)ф(а:1)ф(а:2))Фо). (17.35г)
Введение хронологического оператора в равенство (17.356) очевидно. Затем
согласно теореме Вика можно переставить множители и получить (17.35г).
Операторный множитель в последнем равенстве можно записать в явном виде:
Т (U ( + оо, — оо) ф (х} ф (х2)) =
ОО +СО -)-со
= 2^^ \ ^ d*ynTШЛу}...ф (*i) Ф(-г2))с,
71=0 —со —оо
(17.36)
где индекс С означает, что нужно рассматривать только связанные
диаграммы. Легко проверить, что равенство (17.36) в действительности
справедливо и для произвольных значений хы и х20. Поэтому, используя
теорему Вика, R(xi, х2) можно вычислить с помощью разложения в ряд.
Выпишем первые члены этого ряда:
R (хи х2) = Ар (Xi — х2) + — G2 ^ diyl d4y2 AF (xt — х2) X
X Sp (ySp (г/i — у} ySF (y2 — у}) Ар (y2 — x} + ... . (17.37)
Ясно, что на языке диаграмм Фейнмана R(xх} соответствует про-
стой бозонной линии и всем возможным собственно-энергетическим вставкам
в эту линию (фиг. 132). Таким образом, R(xi, х} совпадает
§ 1. Средние по вакууму от гейзенберговских операторов
621
со штрихованной бозонной функцией распространения гл. 16:
R(xu х2) = Ар (xi, х2) ~
= (V0, Г( Ф^ОФ^Уо). (17.38)
Используя те же приемы, что и для бозонных операторов, легко установить,
что
^S’p (хи х2) = (V0, Т (ф (гО ф (х2)) Vo) (17.39а)
— (Ф0, Т (Аф (х^ ф (х2)) Ф0) (17.396)
S = U(+oo, -со) (17.39в)
Аналогично проверяется, что среднее по вакууму оператора Т (ф (я)ф(у) ф
(z)) соответствует диаграммам Фейнмана, показанным
j
— Ар(Хи т2) = 7? (у^, х3) —
на фиг. 133. Это среднее по вакууму можно выразить через функции Sp, Dp и
Г:
{V01 Г (фр (х) фа (у) ф (z)) | V0) =------------§ d*y' ^ d4z' X
X Sрас (У1 У ) Грр (у ^ 1 ^ (х х) Sp (z z).
(17.40)
Функции Ар (хи х2) и Sp (Xi, х2) являются простейшими примерами функций
Грина. И в общем случае функция Грина соответствует сумме
+ •••
Фиг. 133.
диаграмм Фейнмана всех порядков, которые дают вклад в данный процесс.
Функция Грина отличается от А-матрицы тем, что она не содержит
множителей, соответствующих внешним линиям, и тем,
622
Гл. 17. Гейзенберговская картина
что она определена для всех значений импульсов внешних линий, а не только
на массовой поверхности. Однако определение функций Грина подразумевает,
что выполняются такие законы сохранения, как закон сохранения заряда и
закон сохранения импульса. В качестве примера рассмотрим функцию Грина в
импульсном пространстве для Комптонов-ского рассеяния. Эта функция
Glllil2(p’k'; pk) определена так, что выражение
V8?'W (2^г“ ^ e^V> <k') GWil (P’kP® u (P) (k)
является элементом ^-матрицы, описывающим процесс во всех порядках теории
возмущений. Нужно отметить, что та же самая функция Грина G
Аннигиляция пары Фиг. 134.
описывает процесс аннигиляции пары на два фотона, поскольку последний
процесс описывается теми же диаграммами Фейнмана (только повернутыми).
Это изображено на фиг. 134.
Однако в случае аннигиляции пары в матричный элемент б’-матри-цы входит
функция G( — p', кр, —к), если электрон и позитрон в начальном состоянии
имеют импульсы р, р', а фотоны в конечном состоянии — импульсы к, к'.
§ 2. Спектральное представление Лемана
Сделанные допущения
а) о релятивистской инвариантности,
б) о наличии спектральных условий (существование вакуума и состояний
только с р^Р^> 0, р0>0),
в) о том, что физические состояния образуют гильбертово пространство с
эрмитовым скалярным произведением, так что каждое состояние обладает
положительной нормой,
позволяют вывести некоторые общие свойства, характеризующие структуру
средних по вакууму от двух гейзенберговских операторов, т. е.
§ 2. Спектральное представление Лемана
623
Ар- и Д^-функций. Такие общие представления были использованы впервые
Челленом [409]. Из общих принципов квантовой теории поля они впервые
систематическим образом были получены Уайтманом (1953 г., не
опубликовано) и независимо Леманом [490]. Они известны как представления
Лемана для двухточечных функций («двухточечников»).
Сначала мы выведем представление Лемана для среднего по вакууму от
упорядоченного по времени произведения . двух операторов нейтрального
скалярного поля. Эта величина, как было установлено, соответствует Д),-
функции:
~ Др (х, у) = (4%, Т (ф (х) ф (у)) Уо).
Так как спектральное представление для упорядоченного по времени
произведения можно получить из представления для обычного произведения
операторов, мы изучим-сначала свойства функции Уайтмана:
W&) (х, y) = (W0, V(x)q>(y)W0)- (17.41)
Обобщенные функции, определенные как вакуумные средние от произведений
гейзенберговских операторов, известны как функции Уайтмана, который
первый подробно исследовал их свойства [852]. Лоренц-ковариантность
теории, т. е. тот факт, что при неоднородных преобразованиях Лоренца
U (а, Д)ф(т:)и(а, Л)-1 = ф (Ах + а), (17.42а)
