Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
Вернемся к главной теме этого параграфа—изучению средних по вакууму от
упорядоченных по времени гейзенберговских операторов
• -РпгГ-1 ? • ? Г-д (‘Ч’ • %m-> У it - У mi ••• zn) ~
= OF0, Т (фа1 (Xi) . .. фат (хт) фР1 (yt).. . (ут) AMl (zt)...
...АйпЫ), То). (17.16)
Целесообразность рассмотрения таких функций Грина для описания
корпускулярных аспектов в квантовой теории поля была впервые подчеркнута
Гелл-Манном и Лоу [301] и Швингером [715]. Перечисленные авторы
установили связь между этими функциями Грина и фейнманов-скими функциями
распространения для многочастичных систем. Швингер положил функции Грина
в основу своей формулировки квантовой теории поля. Чтобы выяснить их
смысл, мы прежде всего свяжем их с величинами в представлении
взаимодействия.
Определим гейзенберговские векторы состояния так, чтобы они совпадали с
векторами состояния в картине взаимодействия в момент времени t — 0. Если
векторы состояния 1^(0) в картине взаимодействия являются решениями
уравнения
75(|?(7)) = ЯГ(7)|?(7)), (1.7.17)
то соответствующие гейзенберговские векторы |ЧГ) определяются следующим
образом:
?/(*, 0)|У> = ЦР(0>, (17.18)
где унитарный оператор 77 (7, 0) удовлетворяет уравнению
idtU (7, 0) = Я/ (7) 77 (7, 0) (17.19а)
и граничному условию
77(0,0) = 1. (17.196)
Связь между операторами в картине взаимодействия и соответствующими
гейзенберговскими операторами получается из требования, чтобы совпадали
их средние значения для соответствующих векторов состояния. Иначе говоря,
по определению,
OF, F (х) Ч*1) = (4я (7), 7» ?(7)), • (17.20)
где вектор состояния | ? (7)) берется в тот же момент времени х0, что
и оператор F (х). Отсюда, используя (17.18), получаем
(?, Г (х) ?) = (77 (7, 0) ?, F (х) 77 (7, 0) ЧГ) =
= (?, Т7-Ц7, 0)F(x) ?7(7,0) ?), (17.21а)
или
F (х) — U~y (7, 0) F (х) 77 (7, 0), (17.216)
где t = x0.
§ 1. Средние по вакууму от гейзенберговских операторов
619
Явное выражение для оператора U можно получить следующим образом.
Вспомним, что от шредингеровской картины, в которой вектор состояния
I'FsW) удовлетворяет уравнению
idt\4s(t)) = (Hos + HIS)\Vs(t)) (17.22)
(Яos и Яш — операторы, не зависящие от времени), можно перейти к картине
взаимодействия с помощью унитарного преобразования
\Y(t)) = eiHot\Ws(t)). (17.23)
Эти две картины совпадают в момент времени t — 0. Можно также унитарным
преобразованием перейти от шредингеровской картины прямо к
гейзенберговской картине, если вспомнить, что гамильтониан Н = Hos + НШ =
Я не зависит от времени:
| Ч*1) = eiHt | ?s (?)). (17.24)
Легко установить, что полученный вектор | Ч*") действительно не зависит
от времени: <9t[4f) = 0. Подставляя в (17.24) вектор lYs^))* выраженный с
помощью равенства (17.23), имеем
|Чг) = еш'е-шо(| Ч1 (?)>• (17.25)
Сравнивая равенства (17.18) и (17.25), получаем следующее выражение для
оператора U (t, 0):
U (г, 0) — eiH^e-iHt. (17.26)
В дальнейшем окажется полезным выражение «физического» (или «истинного»)
вакуума | 4*0) (собственного состояния Я с собственным значением 0) через
вакуум «голых» квантов |Ф0) (Я0|Ф0) = 0). Нужное выражение было ранее
выведено в гл. 11:
МУ.(0» = МЧЦ= 1Ф^'^4?»0) • (17-27)
Здесь ^ — постоянная нормировки. Нужно отметить, что в числителе и
знаменателе правой части (17.27) присутствуют бесконечные фазовые
множители, соответствующие несвязанным диаграммам типа вакуум — вакуум. В
частном они сокращаются.
После этих формальных вводных замечаний рассмотрим вакуумное среднее
упорядоченного по времени произведения двух гейзенберговских операторов.
Сначала для простоты возьмем среднее по вакууму от произведения двух
бозонных операторов в мезонной теории с гамильтонианом Я/ (t) = G ^ do
(х) N (ф (ж) 7Ф 0е)) Ф (ж)> гДе У = 1 или Ys Обозначим этот матричный
элемент через
Я (хи х2) — (4%, Т (ср (хг) ср (х2)) Ч^) (17.28)
и предположим сначала, что xi0^>x20.
Если с помощью (17.18), (17.21) и (17.27) записать гейзенберговские
операторы и векторы состояний правой части (17.28) через величины в
представлении взаимодействия, то для Я при xi0y>x20 получим
Я (хи х2) = (U (0, + оо) Ф0, U-1 (tu 0) ср (яО U (tu 0) X
XU-1(t2,0)(p(x2)U(t2,0)U(0, -со)Ф0). (17.29)
Мы опустили знаменатель выражения (17.27), подразумевая, что при
вычислении (17.29) с помощью диаграмм Фейнмана не нужно учитывать
620
Гл. 17. Гейзенберговская картина
все несвязанные диаграммы с замкнутыми петлями. Оператор U унитарен и
обладает групповым свойством, так что
U(tu h)U{h, h) = u\tut2) (17.30)
и
U-1 (tt, t} = U*(tu t2) = U(t2, t}. (17.31)
Следовательно,
и~г (ti, t2)U(tu t} = U (t2, t}. (17.32)
Оператор U (t, t') удовлетворяет уравнению
idtU(t, t') = HI(t)U(t, t') (17.33a)
и граничному условию
U (t, t) = i. (17.336)
Напомним, что решение уравнения (17.33) можно представить в виде
оо t I
U(t, f') = 2 }...HI{tn)). (17.34)
n=0 t' t'
Функцию R можно переписать следующим образом:
R (х{, х2) = (Ф0, U-1 (0, + оо) U-1 (tu 0) ф (Xi) U (tu t} ф (х} U (t2, —
