Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
Предполагалось, что функция X(t) очень медленно возрастает от значения к
= 0 при t = —оо до значения к = 1 при t' = t. Как было установлено ранее,
это необходимо для того, чтобы придать оператору V(t) строгий смысл.
Если теперь формально разложить произведение V(t) в ряд по степеням
константы связи, то получим
ОО t Ц *>! —1
^(0 = 2 \ dti ^ dt2 - • \ d*n4n)#/(«!) • • ? МОHi(tn).
П=0 “СО —оо -—со
(16.158)
Ферретти проанализировал условия, при которых оператор V(t) равен
оператору S(t). Он в совершенно общем виде показал, что они не будут
равны, если полный гамильтониан Н0 + XHj обладает дискретным спектром
собственных значений. Это верно даже тогда, когда сами дискретные
собственные значения могут быть вычислены по теории возмущений (в виде
ряда). Фактически Ферретти смог показать, что в случае, когда имеются
дискретные собственные значения, ряд для S(t) расходится (см. также
работу Глезера и Циммермана [317]). Поэтому если даже оставить в стороне
вопрос сходимости, то перенормировка ^-матрицы в том виде, как она
изложена в настоящей главе, строго говоря, применима только в случае
чистых процессов рассеяния свободных частиц, когда нет никаких связанных
состояний.
Кайаньелло [100] и Пенни и Гартенхауз [874] исследовали сходимость
матричных элементов оператора V (t, t’) при разложении по степеням
константы связи. Они показали, что в нелокальной теории с гамильтонианом
взаимодействия
Нг = 0\ dH
амплитуда перехода за конечный интервал времени для любого процесса
почленно мажорируется экспоненциальным рядом. Далее было показано, что
при таком взаимодействии элементы матрицы U, рассматриваемые как
степенные ряды по неперенормированной константе связи G, сходятся в круге
с бесконечным радиусом (сходимость обусловливается сокращениями вкладов
от различных диаграмм Фейнмана). Однако в предельном случае t — t1 -* оо
не было получено определенных результатов. Некоторые выводы подобного
рода были сделаны Пенни и Гартенхаузом, но они основывались на
предположении о законности адиабатического выключения взаимодействия и,
следовательно, предполагалось отсутствие переходов из состояния вакуума в
другие состояния. Однако если доверять некоторым соображениям Дайсона
[200], то это предположение представляет собой открытый вопрос.
Дайсон [200] привел аргументы в пользу того, что разложение 6”-мат-рицы в
квантовой электродинамике в лучшем случае можно считать
^ dix' \ dix"K (х — х\ х — х") : ф (х') ф (х”): ср (х)
§ 8. Общие замечания
609
только асимптотическим. Ход его мысли был следующий. Предположим, что
вычисляется физическая наблюдаемая величина в виде ряда по степеням
константы связи е2. Если этот ряд сходится при некотором положительном
значении е2, то он должен сходиться в некотором круге радиуса е2 с
центром в начале комплексной плоскостиZ = е2. Поэтому ряд должен
сходиться также и при е=0 и, кроме того, на некотором интервале
отрицательной действительной полуоси, т. е. при отрицательных значениях
е2. Отрицательные значения е2 соответствуют миру, в котором одноименные
заряды притягиваются друг к другу, а разноименные—отталкиваются1). Однако
если постоянная е2 отрицательна, тогда состояние, в котором имеется
большое число N электронно-позитронных пар (причем электроны
сгруппировались в области пространства Vu а позитроны — в другой,
удаленной от области П2), имело бы при достаточно большом значении N
энергию, меньшую энергии вакуума. Иначе говоря, если силы между
одноименными зарядами притягивающие и дальнодействующие, тогда энергия
связи большого собрания частиц могла бы превысить энергию, необходимую
для их рождения. Поэтому состояние вакуума нестабильно по отношению к
таким состояниям. Чем больше число пар, тем более резко выражается
эффект. Следовательно, члены ряда все более и более высоких порядков
должны играть все более и более существенную роль, поэтому ряды не могут
сходиться.
В лучшем случае ряды могут быть только асимптотическими. Расходимость
рядов будет становиться заметной только тогда, когда рассматриваются
члены очень высоких порядков. Дайсон оценил, что в квантовой
электродинамике члены рядов сперва убывают до минимума, а затем
безгранично возрастают, причем номер минимального члена порядка величины
— — 137.
а
Редмонд и Урецкий [662] выдвинули некоторые аргументы в пользу того, что
в действительности функции распространения Dp и S'F обладают существенной
особенностью как функции константы связи g при g = 0. Ясно, что при таких
обстоятельствах любое разложение по степеням константы связи в лучшем
случае будет асимптотическим. Мы вернемся к этим вопросам в гл. 17, после
получения замкнутых выражений для функций распространения и
перенормйровочных констант Z1( Z%, Z3, записанных через гейзенберговские
операторы.
Несомненно, что читатель с математическими наклонностями выразит в этом
месте серьезные сомнения в обоснованности и осмысленности программы
перенормировок, поскольку в этой программе в качестве отправной точки
