Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
диаграмму от начала до конца непрерывным образом, есть следствие закона
сохранения заряда. Это обстоятельство гарантирует также, что при
дифференцировании оператора 2* (р) по рц фотонная линия с равным нулю
импульсом присоединяется всеми возможными способами, и, следовательно,
каждая возникающая диаграмма будет собственной вершинной частью. Обратно
закон сохранения заряда можно вывести как следствие инвариантности теории
относительно калибровочного преобразования ф—> exp (iea^x^) ф, при
котором рф—>(р — еа) ф и из которого следует соотношение (16.90).
В действительности эти соображения приводят к обобщению приведенного выше
тождества Уорда и соотношений (16.91) и (16.92). Обобщенные соотношения
связывают любую диаграмму Фейнмана с диаграммой, содержащей на единицу
меньшее число внешних фотонных линий (см. работы Такахаши [766], а также
Казеса [436]). Простейшее обобщенное тождество Уорда гласит
Нам не придется использовать это обобщенное тождество Уорда в дальнейшем.
Мы закончим настоящий параграф замечанием, что прямым следствием
тождества Уорда является соотношение
связывающее константы, входящие в выражения (16.71) и (16.73). Этим
доказывается, что в квантовой электродинамике во всех порядках вершинная
расходимость сокращается с расходимостью перенормировки волновой функции.
§ 6. Доказательства перенормируемости
Теперь мы приведем доказательство перенормируемости квантовой
электродинамики, принадлежащее Уорду [817]. В этом доказательстве
проблема перекрывающихся расходимостей обходится путем сведения анализа
собственных электронных собственно-энергетических диаграмм к анализу
собственных вершинных частей, а анализа собственных фотонных собственно-
энергетических диаграмм —к анализу некоторого другого класса диаграмм,
для которых также нет перекрывания.
2л(/ф — /ф) Г^(//, р) = Sp1 (р') - S'f (р).
(16.93)
В + Ь = 0,
(16.94)
594
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
В качестве простой иллюстрации метода в случае электронных собственно-
энергетических диаграмм рассмотрим собственно-энергетический оператор 2*
(р, W2), соответствующий диаграмме фиг. 123. Как показал анализ в § 4,
оператор 2* (р, W2) содержит перекрывающиеся
расходимости. Вычисляя производную 2* (р, TF2), мы получаем три
VPlX
члена, соответствующих диаграммам а, б и <?, показанным на фиг. 124.
Эти три диаграммы возникают путем присоединения внешней фотонной линии с
равным нулю импульсом к трем внутренним электронным линиям диаграммы фиг.
124. Мы обозначим операторы, соответствующие этим трем диаграммам, через
Лй (pi, р2, F)2’), i— 1, 2, 3. Отметим, что, во-первых, добавление
внешней фотонной линии прежде всего
Фиг. 124.
уменьшает степень расходимости (диаграммы фиг. 124 расходятся
логарифмически, тогда как диаграмма фиг. 123 —линейно) и, во-вторых,— и
это для нас наиболее существенно — расходящиеся части этих собственных
вершинных диаграмм можно отделить без каких-либо затруднений и произвола.
Пусть эти расходимости уже отделены в Л|Л (р, р, Fj2)) по правилам,
которые были даны выше. Поскольку имеется связь
= 2 pt y<») = Aii(iBj Р: v2)j (16.95)
г=1
то оператор 2* (р, W2) путем интегрирования соотношения (16.95) можно
выразить обратно через оператор Л^(р, р, F2)
v
2* (р, W2) - 2* (р\ W2) = - 2я J (р", р", F2) dp"». (16.96)
V'
§ 6. Доказательство перенормируемости
595
Далее вспомним, что оператор 2* (р, W2) при р = т, р2 = т2 равен
2nibm{W2). Поэтому
V
2*(р, W2)-2nibm (И/2) = -2л^ Л»(р", р\ V2)dp"м, (16.97а)
где
у-p = т,
т“.
(16.976)
Таким образом, если в формулу (16.97) подставить выражение для оператора
(р", р"\ V2) (соответствующего собственной вершинной
части) с уже отделенными расходимостями, то для оператора 2* (р, W2)
получится выражение, в котором расходимости будут отделены и
классифицированы. При этом мы нигде не встретимся с трудностями,
связанными с проблемой перекрывания.
Аналогичную процедуру можно разработать для перекрывающихся
расходимостей, соответствующих фотонным собственно-энергетическим
Фиг. 126.
частям. Так, рассмотрим, например, собственную собственно-энергетическую
диаграмму, показанную на фиг. 125, которой соответствует фотонный
собственно-энергетический оператор П* (k, W"2). Обратим внимание на
импульсы, приписанные внутренним электронным линиям. Поскольку
д 1 1 1
дк^ у-(к—q)— т у-(к — q) — т^ у-(к — q) — m’ (16.98)
то оператор (к, к; W'2), получающийся при дифференцировании оператора П*
(к, W2) по кц, можно построить по диаграммам а и б фиг. 126, которые
получаются путем присоединения внешней фотонной линии с равным нулю
импульсом к тем электронным линиям диаграммы фиг. 125, которые переносят
внешний импульс.
Расходимость полученных диаграмм снова оказывается слабее расходимости
диаграммы фиг. 125. В самом деле, диаграммам фиг. 126, представляющим
оператор Дц(&, к; И7'), соответствуют только логарифмические расходимости
(линейные расходимости не возникают благодаря лоренц-инвариантности).
