Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
гейзенберговского оператора в представлении, где операторы Рц
диагональны. В данной главе мы будем использовать это представление.
Чтобы получить дальнейшие выводы, обычно делают три следующих физических
предположения относительно состояний, фигурирующих в теории (Челлен
[409]; Уайтман, 1952 г., не опубликовано):
I. а) Существует единственное состояние вакуума | Ч^о). Оно инвариантно
относительно любых преобразований Лоренца
U (а, Л) | *F0) = | Мго>- (17.13)
б) Это состояние является состоянием с наинизшей энергией
(К’ = о).
II. Состояния системы содержат только времени-подобные или изотропные
импульсы с неотрицательной энергией, т. е. не существует состояний |ЧГ„),
4-импульсы которых р™ удовлетворяют неравенству р™р(п) в<0 или й
> 0 при pW> < 0.
III. Существует' набор состояний [ р(п), а), причем р^р^ц > 0, /><'но> 0,
который является полным в гильбертовом пространстве физически реализуемых
состояний системы полей.
Относительно допущения (I, а) можно сделать следующие замечания.
Рассмотрим пространство состояний Ж0, удовлетворяющих соотношению U (а,
А) | 'Fo) = | 'Fo). Тогда закон умножения для величин U (а, Л)
U (a, Л) U (b, N) = F(Ab + a, AN) (17.14)
означает, что Ш10 инвариантно относительно преобразования {а, А}. Можно
показать, что в силу непрерывности U (а, Л) это пространство является
замкнутым линейным пространством. В этом пространстве операторы U (а, А)
порождают унитарное представление неоднородной
§ 1. Средние по вакууму от гейзенберговских операторов
617
группы Лоренца (с точностью до множителя) с тривиальным оператором
сдвига. Поскольку это представление унитарно, то любое такое
представление либо эквивалентно тривиальному U (я, Л)—>1, либо
бесконечномерному (см. гл. 2). Таким образом, если какие-либо состояния
вакуума вообще существуют, то они могут быть двух видов: инвариантные
относительно преобразований Лоренца и бесконечномерные, компоненты
которых преобразуются друг через друга при преобразованиях Лоренца.
Допущение’ (I, а) говорит о том, что вакуум является таким состоянием,
которое преобразуется по одномерному унитарному представлению
неоднородной группы Лоренца.
Предположение о том, что состояние с наинизшсй энергией (если оно
существует) и есть состояние вакуума, представляется очевидным. Далее,
теория поля, в которой не существовало бы состояния с наиниз-шей
энергией, т. е. в которой энергетический спектр не был бы ограничен
снизу, не была бы состоятельной, поскольку тогда система разрушилась бы,
испытывая радиационные переходы. Известно несколько примеров
релятивистских теорий поля, в которых не существует основного состояния
[258, 37]. Один из таких примеров—это теория Уорда (скалярное поле с
самодействием ^др3). Гамильтониан в этой модели имеет вид
Н = -L ^ d3x : («ро)2 -f- (ф'1)2 -f- ц2ф2 + Ц>3:,
(pk~dk(p, ф° = д°ф. (17.15)
В теории Уорда не существует основного состояния, ибо бозе-поле может
быть возбуждено как угодно сильно, так что член Яф3, который не является
положительно определенным, при сильных возбуждениях поля будет, вообще
говоря, преобладать над положительно определенными квадратичными членами
в Н. Поэтому теория Уорда не может служить подходящей моделью
взаимодействующих полей.
Теперь относительно предположения (II). Аргумент против существования
состояний с отрицательной энергией или пространственноподобными
импульсами заключается в том, что такие состояния никем и никогда не
наблюдались на опыте. Что же касается существования таких состояний в
теории, то во избежание противоречий с известными в настоящее время
фактами необходимо и достаточно, чтобы эти состояния
1) были ортогональны всем физически мыслимым состояниям и
2) не появлялись в результате взаимодействий.
Первое условие выполнено в любой релятивистски инвариантной теории, но
второму удовлетворить нельзя, если не исключить всех внешних возмущений,
которые вызывают переходы в нефизические состояния. Если бы второе
условие было удовлетворено, то можно было бы полностью исключить
нежелательные состояния из теории. При каких обстоятельствах
удовлетворяется это условие — неизвестно. Поэтому обычно предполагается,
что любое состояние имеет лишь времени-подобные импульсы и положительные
энергии.
Из релятивистской инвариантности вытекает, что 4-вектор энергии-импульса
состояния вакуума равен нулю. Так как, по предположению, вакуум единствен
и является состоянием с наинизшей энергией, то отсюда следует, что
собственное значение Р0 для любого другого состояния таково, что р(0п)>0
при всех п.
618
Гл. 17. Гейзенберговская картина
В квантовой электродинамике требования = 0 недостаточно, чтобы однозначно
определить вакуумное состояние, поскольку существует свобода в выборе
калибровки. Существует бесконечное число вакуумных состояний, которые
отличаются лишь выбором калибровки.
В последующем мы примем калибровку, при которой (Ч'о, ЦА^ (х) Фо) = О
(409]. Предполагается, что (17.13) не противоречит второму постулату.
