Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 271

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 265 266 267 268 269 270 < 271 > 272 273 274 275 276 277 .. 373 >> Следующая

нейтральных псевдоскалярных бозонов, взаимодействующих с фермионами спина
1/2, то примем, что оператор энергии-импульса имеет следующий спектр
масс:
а) изолированную точку при р2 = 0, соответствующую состоянию вакуума;
б) изолированную точку при р2 = pi2, соответствующую стабильному
одномезонному состоянию; р —физическая (наблюдаемая) масса мезона;
в) непрерывный спектр, начинающийся при р2=(2р)2 и соответствующий
двухмезонным состояниям; аналогично, непрерывный спектр,
|Р|
Фиг. 135.
начинающийся при р2 = (тгр)2, п = 3, 4, ..., и соответствующий тг-мезон-
ным состояниям;
г) отдельную точку при р2 = М2, соответствующую стабильному
однонуклонному состоянию; М — масса физического нуклона;
д) непрерывный спектр, начинающийся при р2 — (пМ -f ттгр)2, п — 1, 2, . .
., ттг = 0, 1, 2, . . ., и соответствующий мезон-нуклонным состояниям.
Спектр физических состояний показан на фиг. 135. Эти детальные
предположения относительно импульсно-энергетического спектра физических
состояний позволяют написать Q (р2) в виде
р (р2) = (2я)3 | (Ч^о j ф (0) | р, a) j2 (17.59а)
а
= (2я)31 (Т01 ф (0) | р; р2 = р2> i2 б (р2 - р2) +
+ № 2|<Чго|ф (0) | р, а') |2, , (17.596)
а'
где разделены вклады в q от одномезонного состояния | р; р2 = р2) с
импульсом рц, и от остальных состояний с тем же импульсом. Сумма по а в
равенстве (17.59а) не включает вакуумного состояния, поскольку
§ 2. Спектральное представление Лемана
627
оно имеет 4-импульс, равный 0. Для псевдоскалярного поля состояние
вакуума не дает вклада и в q(0), так как среднее по вакууму от tp (х)
равно нулю.
Доказательство: Из трансляционной инвариантности следует, что среднее
(Ч’о | ф (z) | Ч*",,) Должно быть постоянной. Если теория инвариантна
относительно пространственных отражений, то
U (?8)ф(:г) U(b)_1= — ф((8а:), (17.60а)
U(U |То) = 1Т0>, (17.606)
и эта постоянная должна быть равна нулю.
Проанализируем подробно вклад одномезонного состояния. Для этого
рассмотрим матричный элемент (ЧУ | ф (я) j р; р2 = р2), где | р;
р2 = р2),
как и выше, означает одномезонное собственное’5 состояние Р^, т. е.
Рц 1 р; р2 = р2) = Рц|р; р2 = р2>, (17.61а)
причем
РцР'1= Р2= Р2- (17.616)
Из трансляционной инвариантности вытекает, что
(Чг01 ф (х) | р; Р2 = Р2) = (IF0 ] Ф (0) | р; р2 = р2>. (17.62)
Как отмечалось выше, из релятивистской инвариантности следует, что (Чр0!
Ф (0) | р; р2 = р2) есть функция только р2. Для одномезонного состояния
р2=р2, поэтому матричный элемент (Чг0 j ф (0) | р; рг = р2) —
действительная постоянная, не зависящая от р^. Обозначим ее через
yZ3/(2я)3. Следовательно,
<Т0|ф(л:)|р; pa=^a) = _^-e-iP-* (17.63)
С помощью (17.63) можно переписать равенство (17.596):
q (m2) = Z36 (та2 — р2) + а (т2), (17.64)
где положительно определенная величина а является вкладом состояний с р2
> р2 в функцию q:
о (р2) = (2л)3 2 | (ЧУ | Ф (0) ( р, а')|2. (17.65)
а'
Используя выражение (17.64), окончательно можно переписать (17.57) в виде
оо
&F(x — y)=Z3hF(x — y, р2) + ^ dm2a (т2) Аг,- (х — у; т2). (17.66)
(3)1)2
В равенстве (17.66) интегрирование начинается с (Зр)2 в силу псевдо-
скалярцости оператора ф, ибо матричный элемент (Чр01 ф (0) [ р; а'), где
а' соответствует двухмезонному состоянию, равен нулю. Первые состояния,
которые дают вклад в а, являются трехмозонными, а для них спектр масс
начинается с Зр.
Относительно постоянной нормировки Z3 можно высказать некоторые
утверждения, если принять, что ф —локальное поле, т. с. если
[ф (я), ф(у)] = ?Д(а;-у) при (х-у)2< 0. (17.67)
Напомним, что при (х — у)2<. 0 функция Д (х — у; т2) не зависит
i
от массы т и пропорциональна е (х—у) б ((х—у)2). Поэтому для локаль-
40*:
628
Гл. 17. Гейзенберговская картина
ных полей равенство (17.58) принимает вид
гА (х — у) ^ i \ dm2Q (т2) А (х — у\ т2) при (х — у)‘г<0. (17.68)
о
Так как функция А (х — у; т2) при (х — у)2<0 не зависит от т, то
СО
^ е (m2) dm2 = 1, (17.69а)
О
или, что эквивалентно предыдущему равенству,
Z3 + ^ o(m2)dm2 = l. (17.696)
(Зв)2
Поскольку а(иг2)>0, то из (17.696) следует, что 0<Z3<1.
Относительно приведенного вывода могут возникнуть возражения, так как
в действительности А (х — у, т2) = 0 при (т — у)2 < 0. При
более
сильном предположении, когда <р (х) подчиняется каноническим
переста-
новочным соотношениям, получаются те же результаты. Канонические
перестановочные соотношения имеют место, если исходить из локального
лагранжиана. Если
[d0q> (х), ср (у)]х0=ц0 = - i6(3) (х - - у), (17.70)
то легко получить равенство (17.69), продифференцировав по х0 обе части
равенства (17.58), положив затем х0 = у0 и вспомнив, что производная дйА
(х) при то = 0 равна — 6<3)(х). Другие важные свойства функции Грина Ар
(х) наиболее просто выражаются с помощью ее фурье-образа А), (к2):
(Зц)2
Рассмотрим функцию Ар (?) комплексной переменной ?, определенную
равенством
о
ДИ (С) = J^r + ') dm2 . (17.72а)
(Зц)2
Так как Z3 и о (т2) действительны, то
ДЙГ) = Д И?)- (17.726)
Представляющая физический интерес величина Аф (к2) получается из А),- (?)
Предыдущая << 1 .. 265 266 267 268 269 270 < 271 > 272 273 274 275 276 277 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed