Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
равенствами:
ш(1) (яг2) = /г(1) (яг2) - /г(2> (яг2), (17.123а)
мг(2, (яг2) = 2. (^Ш (m2) + ^<2> (т2))- (17.1236)
Тогда
— -- S’p (р) = г ( ^ [ Л:"("Г2) . + 1 . (17.124)
2 УГ J га I у/7 — w-j-ie у/>+т —18 I
О
Представляет интерес рассмотреть вид S'F, когда явно выделен вклад
однофермионных состояний. Исследуем с этой целью структуру функций w(U и
щ>(2). Из равенств (17.114) и (17.1156) следует
4
^J>(P2) = (2f~2 2 WiMOJlp, а)(р, а|фр(0)]^0). (17.125)
р=1|ра>
Кыделяя вклад однофермионных состояний, получаем
4 2
Ю,,, (Р2) =(?3 2 2 <*0! фр (0) i р, в; д2 = М2) X
р=1 Я=г1
X (р, s; д2 = М2!фр(0)|ф'0) + <>(/г2), (17.126)
где через wa) (р2) обозначен вклад от всех других состояний } р, а'). Из
соображений релятивистской инвариантности
(2л)3
где (у-р — М) us (р) = 0, a Z2 — постоянная нормировки. Подставляя
выражение (17.127) в равенство (17.126), видим, что два однофермионных
состояния (s=l, 2) дают в w(l) (р2) член
2
4 Z*M sp ( 2uS (р) (р)) = 4 Z-M Sp ):
= Z2M. (17.128)
Следовательно,
шш (р2) = Z2M6 (р2 - М2) + шш {р2). (17.129)
(Ф"о j фр (х) ! P, s; р2 = М2) = е~1р'хУ'2М «р (р), (17.127)
638
Гл. 17. Гейзенберговская картина
Аналогично легко получить [так как, согласно (17.1156), 8р(у°до) =
4р°ау(2)] ®(2> (Р2) = Z2b (р2 - М2) + w{2) (р2).
Поэтому из равенств (17.123) следует
/гш (/тг2) = MZ2b (/тг2 — М2) -f у [ay'u (/тг2) + ти/(2) (/тг2)],
/г(2) (/тг2) = у [ттгоу'2) (/тг2) — (/тг2)].
Равенство (17.124) теперь гласит:
со
.1 ( /“’(l) {тг)\тт\2) (m2) (то2)— mic('.2l (то2)) dm2
2 j \ y-p — m-|-is y-p-]-m—is J m
ДГ+ц
В локальной теории поля, где спинорные операторы подчиняются каноническим
одновременным перестановочным соотношениям
]г|т(:г), rf OOI+ 15о=х' = у°6<3) (х— х'), (17.134)
можно получить дальнейшие ограничения на весовую функцию q(1), если
сравнить представление Лемана для (Уо [г]з (х), г|з (#')]+У0) при х0 —
х‘а со средним по вакууму из равенства (17.126). Предполагая С-инвариант-
ность теории [которая дает возможность связать (У0, Ч>(*)Ч>(у)Уо) и (Уо,
г|т (х) г|т (у) У0)], находим, что среднее по вакууму от антикоммутатора
г|з (х) и г|:(у) имеет следующее спектральное представление:
Уо, [Ц>(х), 'rpJx^l+Vo) =
СО
= ^ dm2 {q(1) (//г2) (— iS (х — х'\ т)) + q(2) (//г2) iA (х — х'\ /к2)}.
(17.135) о
Сравнивая это равенство при х0 = х'о с усредненным по вакууму равенством
(17.134), получаем
со со
^ dm2Qw (//г2) = 1 = Z2 + dm2w'(2) (т2), (17.136)
о о
так как А (х, 0; /к2) = 0.
Наконец, если уравнение движения для оператора г|з есть
— М) г|з (х) = Су5ф (х) г]/ (х) — бМф (х), (17.137)
то процедура, аналогичная примененной в случае бозонного поля,
показывает, что
со
I [(М — т) Q(1) (m2) + g(2) (то2)] t/то2
М-М0 = 6М = °------------------------------------- . (17.138)
)' Q(1) (то2) dm2 6
Равенство (17.138) получается, если подействовать оператором iy-д — М на
(У0, Ж^), Ф (ж')]+Уо),
(17.130)
(17.131)
(17.132)
(17.133)
§ 2. Спектральное представление Лемана
639
использовать уравнение движения (17.137) и представление (17.135), а
затем перейти к равным временам.
При вычислениях по теории возмущений Z2 расходится. Поэтому определяют
перенормированный гейзенберговский оператор фя (х) с помощью равенства
\t>R(x) = Z~l^\p(x), (17.139а)
Цн (х) = Zf1^ (х). (17.1396)
Перенормированный оператор фя (х) обладает тем свойством, что его
матричный элемент между физическим однонуклонным состоянием и вакуумом
конечен. Перенормированные операторы удовлетворяют
следующим перестановочным соотношениям:
[фя(х), фя(х')]+| _ ,= — iZ~1S(x-x'). (17.140)
! *0—“о
Для среднего по вакууму от произведения двух перенормированных операторов
имеется спектральное представление, выражающееся через весовые функции
р(1)я и Q(2)r- Это представление совпадает с написанным выше. Ясно, что
перенормированные весовые функции связаны с ноперенормированными
мультипликативно, Z2Q(i)R = Q(i) (i= 1, 2), откуда с помощью равенства
(17.136) получаем
СО
ZlX= К Q(i)R(m2)dm2. (17.141)
о
Если определить перенормированный заряд Gr,
Gr = Z1Z;1Z13/zG1 (17.142)
то уравнения движения для перенормированных гейзенберговских операторов в
нейтральной псевдоскалярной мезонной теории будут иметь вид
(iy-d-M)tyR (х)= — ЬМ\pR (х) + GHZtZ2"ly5(pn (х) фя-(х)(П + 92) фя (х) =
= 4 GrZiZ? [фй (х)уь, Фя (х)] + 4 Й9оФя (*) - 6Л'Ф& (х).
(17.143)
При расчете различных эффектов по теории возмущений с использованием
перенормированных операторов (и постоянных Z{, Z2, Z3, определенных выше)
все сечения и сдвиги уровней получаются конечными. Однако остаются еще
расходимости, связанные с локальными величинами, такими, как (V0, JH (х)
Jb (s') Vo) или (V0, фя (х) Фя (s') V0). Это отражает тот факт, что такой
локальный оператор, как 3r (х) или Фя (х), не может быть наблюдаемой.
Противоположный случай соответствовал бы возможности произвести измерение
в одной пространственно-временной точке, что, однако, исключается
соотношениями неопределенностей. Анализ возможных измерений показывает,
