Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
дира-ковский спинор свободной частицы с импульсом pt только первые два
члена будут давать отличный от нуля вклад. Кроме того, вклад от второго
члена будет пропорционален Г, и им поэтому можно пренебречь. Отсюда
следует, что надо рассмотреть только первый член. Тогда при р2 = т2 можно
записать
^ (Pi) = /<i,Yv. (15.108)
где 1т = 1т (т2) — константа, равная + 4я3Ш, причем константа В
определяется формулой (15.94) [вспомните соотношение (15.1036)]. Затем
следует симметризовать множитель в конце выражения (15.106), заменив (Г
на 1/2(Г + Г'). Учитывая, что оператор (15.106) применяется к
дираковскому спинору, можно добавить к множителю 72(Г-|-Г') оператор
1/2(у •р — т). Тогда выражение (15.106) приобретет вид
М<”> + MW = + ”!L ^ dTo dr-G (Го) G (г;) у • а (р2 — — Г — Г') х
^ ^ - (pj—]— Г —(— Г') а) ~2 fY-CPi + ГН-Г ) т]. (15.109)
В'пределе Г0—>0 оно превратится в
М(а) + М(гг) = +у4^з7шУ'а (Р2 — Р1) = -^еВу-а (p2-Ti), (15.110)
причем на множитель V2 следует обратить особое внимание. Аналогичный
анализ может быть проведен и для матричных элементов (15.69) и (15.72),
что приводит к результату
М(е1) + М(в2) = +у^з71)У’а (Рг — Pi) = — j еВу-а (p2 — pi). (15.111)
Выше было показано, что расходящийся вклад в матричный элемент от
диаграммы б на фиг. 68 может быть записан в виде
M(o) = Av(pl, Pi)eav(p2 — pi) = Bey-a(p2—pi). (15.112)
Поэтому, хотя каждый из матричных элементов, соответствующих диаграммам
б, в и а на фиг. 68, взятый в отдельности, расходится, сумма их все же
конечна и фактически равна
М = + 2яш (р2) eACv (р2, Pi) оУ (р2 — Pi)w(Pi), (15.113)
где оператор Acv определяется формулой (15.88). В гл. 16 будет показано,
что это взаимное уничтожение расходимостей собственно энергетической и
вершинной частей связано с калибровочной инвариантностью и происходит в
квантовой электродинамике во всех порядках теории возмущений. Перейдем
теперь к выяснению физического смысла расходимостей в сумме матричных
элементов (диаграммы в и г на фиг. 68). Мы вычислим эффект взаимодействия
электрона с внешним полем вплоть до порядка е3. В первом порядке по е
дает вклад диаграмма а на фиг. 68, которая представляет взаимодействие
электрона с внешним полем и ни с чем более. В третьем порядке по е
ситуация изменяется в двух отношениях. Во-первых, имеется вероятность Р
того, что электрон будет взаимодействовать с внешним полем между актами
испускания и поглощения виртуального фотона. Этот процесс описывается
диаграммой б на фиг. 68. Во-вторых, вероятность взаимодействия электрона
с внешним полем, когда около
33 с. Швебер
514
Гл. 15. Квантовая электродинамика
электрона нет виртуального фотона, теперь уже равна не 1, а 1 — Р, т. е.
она уменьшается на величину вероятности нахождения виртуального фотона
около электрона (эти утверждения непосредственно вытекают из унитарности
5-матрицы, так как условие унитарности гарантирует сохранение полной
вероятности). Указанная вероятность дается выражением
где b (к) — амплитуда вероятности того, что имеется виртуальный квант с
заданным импульсом к.
Уменьшение вероятности обнаружения электрона, не окруженного виртуальными
квантами, равносильно изменению нормировки волновой функции электрона.
Поэтому диаграммы в и г на фиг. 68 часто называют диаграммами
перенормировки волновой функции. Диаграмма г описывает перенормировку
волновой функции начального, а диаграмма в — конечного состояний
электрона. Волновая функция (т. е. амплитуда вероятности) должна быть
перенормирована при помощи множителя (1 — Р)1/2, так что поправкой
первого порядка будет У2 Р, что и объясняет появление множителя Уг в
формуле (15.111).
§ 4. Аномальный магнитный момент и лэмбовский сдвиг
. ; В предыдущем параграфе было показано, что после перенормировки м i ;ы
сумма вкладов от диаграмм в и г на фиг. 68 конечна и соответствующий
матричный элемент дается выражением (15.113). По-видимому, смысл этих
радиационных поправок проще всего понять, если рассмотреть их, используя
понятие «эквивалентного» потенциала, в котором движется электрон.
Амплитуда рассеяния, включающая вклады от диаграмм а — г на фиг. 68,
равна
что представляет собой наиболее общую структуру матричного элемента,
которая следует из релятивистской и калибровочной инвариантности
формализма 5-матрицы при условии, что внешнее поле слабое, и поэтому
можно ограничиться только линейными по внешнему полю членами
Подставляя (15.115) в явное представление вершинного оператора Acv
(15.88), легко убедиться, что в рассматриваемом приближении функции
(15.114)
+2meu(Y>2)(yv + ACv{p2, Pi)) и (Pi) аУ (p2 — pt). (15.115) Это равенство
можно также записать в виде
R= -j-2nieu (р2) |.У(?2) уv —-^Gfa2) ^avn} и (р{) аУ (р2 — р^, (15.116)
[699]1).
F я G суть
е
(15.117а)
о
G(q2)
а 29
2я sin 20 ’
(15.1176)
х) В гл. 17 будет дан вывод структурного соотношения (15.116).
§ 4. Аномальный магнитный момент и лэмбовский сдвиг
515
Далее, в первом порядке по внешнему полю матричный элемент для упругого
