Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
импульсом к и состоянием поляризации X запишется в виде
Отметим, что суммирование по индексу X проводится только по двудт
поперечным состояниям поляризации 1 и 2, и поскольку divA = 0, то к-8я(к)
= 0 (А = 1, 2). Операторы поля подчиняются обычным перестановочным
соотношениям:
Гамильтониан (15.45) соответствует взаимодействию нерелятивист-ской
точечной частицы с полем излучения. Однако взаимодействующая заряженная
частица может испускать виртуальные фотоны с произвольно большим
импульсом и должна приобретать при этом настолько большие импульсы
отдачи, что ее движение перестанет быть нерелятивистским. Поэтому, строго
говоря, гамильтониан (15.45) не является внутренне непротиворечивым. Эту
трудность можно частично обойти, если рас-
!) В дальнейшем нас будут интересовать только эффекты собственной
энергии, обусловленные гамильтонианом взаимодействия Hinl. Поэтому мы
опускаем член А2, который возникает из-за калибровочно-инвариантного
включения взаимодействия заряженной частицы с излучением посредством
замены р —> р — (е/с) А. Член А1 вносит не интересующий нас из-за
независимости от импульса частицы вклад в собственную энергию. Этот член,
однако, важен в задачах о рассеянии излучения на заряженных частицах и,
конечно, для калибровочной инвариантности теории.
И - Яrad + Нт + Hint = Но + III 1
(15.45)
причем*)
(15.45а)
(15.45в)
(15.456)
[с* (k), cl,(k')] = 6U'S(3>(b-k')
И
[с* (к), су (к')] = [с*, (к), сИк')] = 0.
(15.47)
Оператор Nд,(к)= cl(к)сд,(к) есть оператор числа фотонов с импульсом
к и состоянием поляризации X, и Л1а(1 = ft 2 Юк-А), (к), где ©к = с|к;.
к, х
$ 2. Перенормировка массы и лэмбовский сдвиг в нерелятивистском
приближении 499
сматривать частицу с распределенным зарядом и записать гамильтониан
взаимодействия в виде — (е/т0с) ^ F (х — х') р-А (х') rfx', где функция
F (х') описывает распределение заряда. Далее, если а^Ь/тс будет радиусом
этого распределения, то фотоны с длиной волны, меньшей а, не будут
взаимодействовать с частицей. Другими словами, в разложение (15.46) будут
вносить вклад только те импульсы к, для которых Ьк < тс.
Рассмотрим теперь свободный электрон. Тогда Е(х) = 0. Если бы
гамильтониан Hi был равеп нулю, то собственные функции гамильтонианов Н и
Но совпадали бы и были бы произведениями собственных функций операторов
р2/2т0 и HTai\. Если предположить, что связь между электроном и полем
излучения слабая и что поэтому справедлива теория возмущений, то
гамильтониан Hi вызовет некоторый сдвиг невозмущенных собственных
значений энергии. Вычислим это изменение энергии во втором приближении
теории возмущений для такого невозмущенного состояния, в котором имеется
один электрон с импульсом р и нет фотонов, т. е. для состояния
|Ф) = ^=е;Р-*|Ф0), (15.48)
где V — нормировочный объем для волновой функции электрона, a jФ0) —
состояние вакуума для поля излучения, щ (к) [ Ф0) = 0. Отметим, что
энергия Е0 этого состояния равна кинетической энергии электрона р2/2те.
Способом, аналогичным примененному в § 4 гл. 12, легко установить, что во
втором порядке теории возмущений1) сдвиг энергии обусловлен испусканием
фотона электроном и его последующим поглощением и равен
Д?(2) = 2 «ф.я^.Ф) (15 49а)
%ф0
ф’ Н1-Е^_-н #гф) (15.496)
Ьс С d3k Г d3k' Г it 1
<
Г d3k Г d3k' Г 1 .
\ -77= \ т- \ d3x^e~lр *е1Р-*х
3 У2(0,, 3 У2(0,,, 3 V
(Щ3 3 у 2^ 3 Ущ
х 2 (k) е1к-х) (p-ev (к-) р (к) р* х
Е°~~2^(Р“У,к')2~Лс1к']
Х(Ф0, с,(к)с1,(к')Ф0) (15.49в)
= е— рп\ is у I Р «я (к) |2 г ,0 7
т{;с2 (2я)3 j 2wk I ' ' ZJ ;,к.р , Д2к2 , . ...• У1ЬАА)
Х=; 1-------Г Т. 7 п с К
то 2т0
Далее, р/нг0 = v есть скорость «голой» частлцы. Поэтому первый
член
знаменателя в формуле (15.49г) имеет порядок v/c по сравнению с чле-
ном Ьс | к |. Так как нас интересует нерелятивистский предел, то мы
пренебрежем членом %\ ? к. Кроме того, известно, что функция /’(к)
обрезает вклад от больших к ([ к ! > 1/а). Поэтому мы пренебрежем также
членом k2k2/2m0 по сравнению с членом Ьс | к ]. Наконец, учитывая, что
векторы
1) Член р-А в первом порядке теории возмущений не гуществен, так как
(Ф, р-АФ)=0. Член А2 в этом порядке будет давать константу.
32*
500
Гл. 15. Квантовая электродинамика
к и ея (к) ортогональны, так что
2
2 |Р-Мк)|2 = р2-— , (15.50)
к2
А.= 1
и выбирая полярную ось в направлении вектора р, можно проинтегрировать по
углам в (15.49г) п получить
2пг0 L 4яйс Зя т0с
J dk | F (k) |2 j . (15.51)
Отметим, что для точечного заряда F (к) = 1, и поэтому интеграл,
определяющий Л?(2), линейно расходится. Очень важно, что собственная
энергия фактически оказалась пропорциональной кинетической энергии
«голой» частицы р2/2т0. Во втором приближении теории возмущений энергия
системы есть
Е = Е0 + ЬЕ№ (15.52а)
<15'52б)
о
Ьт
~~ 2т0 I 1
где
д^Г1- —(15-52*)
>т0 [m0J v >
СО
6m = ~±-\dk\F(k)\*. (15.52г)
Примем теперь точку зрения Крамерса и будем считать бт электромагнитной
массой, которую приобретает частица (сверх ее «голой», механической
