Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
использование годного для свободных электронов выражения (15.89). Ясно,
что это условие совместимо с требованием Лмин < тс2. Вычисление затем
показывает, что в сумме выражения (15.126) и среднего значения
(15.89) член 1пХмин сокращается. Как и следовало ожидать, результат не
зависит от фиктивной массы фотона. Френч и Вайскопф [280] отметили, что в
формуле для сдвига уровней следует учесть также продольные и временные
фотоны. Если сделать это, то в результате получим сумму выражения
(15.626) и среднего значения выражения (15.89) при условии, что 1п7,мнн
положен равным
In7,МИн = In 2К—Ц-. (15.127)
Из только что описанных вычислений для лэмбовского сдвига получается
упомянутый выше результат 1052 Мгц (после включения эффектов поляризации
вакуума). Уточнения этих вычислений и обсуждение высших приближений
читатель может найти в статьях Баранджера, Бете и Фейнмана [26],
Карплуса, Клейна и Швингера [426], Миллса и Кролла [553], Лайзера [481],
Фрида и Пенни [282, 284] (см. также статьи Кролла и Поллока [466] и
Карплуса и Клейна [425], в которых вычисляются радиационные поправки к
сверхтонкой структуре).
Вернемся теперь к краткому обсуждению смысла величины кШИН для проблем,
относящихся к рассеянию свободных электронов. Тот факт, что выражения
(11.89) и (11.113) логарифмически расходятся при кЫИН -» 0, известен как
«инфракрасная расходимость». Описанный только что в общих чертах метод,
который устраняет инфракрасные расходимости для связанных электронов,
нельзя применить к свободным электронам. Ясно, что нельзя вычислять
эффективные сечения рассеяния непосредственно из выражений (11.89) и
(11.113), устремляя в них Лмин -» 0. Эта трудность устраняется, если
заметить, что невозможно поставить такой эксперимент, в котором было бы
гарантировано, что электрон в процессе рассеяния не излучил ни одного
фотона. Лучшее, чего можно добиться при постановке эксперимента, — это
потребовать, чтобы энергия фотона, если он был излучен, была меньше
некоторой энергии к0, которая определяется точностью измерительных
приборов. Оказывается, что дифференциальное эффективное сечение для
рассеяния, сопровождаемого излучением фотона (тормозным излучением) с
энергией, меньшей к0, также содержит инфракрасную расходимость и что эта
расходимость взаимно уничтожается с аналогичной расходимостью в
радиационных поправках. Точнее, если предположить, как это сделано выше,
что фотон имеет очень малую массу ^-мин, то соответствующая диаграммам б
— з на фиг. 68 амплитуда будет содержать член вида 1п(шАмин). Таким
образом, вероятность рассеяния без излучения фотонов | . . .
-f- |2 содержит член, пропор-
циональный be6 In (т/кмин). (В более высоком порядке по а будет и член
вида [In (нгДмин)]2.) Вместе с тем оказывается, что диаграммы на фиг. 72,
соответствующие процессам с излучением реального фотона (к2 = 0),
приводят к вероятности рассеяния, сопровождаемого излучением реального
фотона с энергией, меньшей к0, которая содержит член, равный (в низшем
порядке по а) — be6In (А:0/^мин)- Таким образом, вплоть до порядка
520
Гл. 15. Квантовая электродинамика
ев сумма вероятностей уже не содержит ^мин, так что в этом порядке
инфракрасные расходимости устранены. В общем случае инфракрасные
расходимости всегда сокращаются, если рассматривать все процессы, включая
излучение реальных фотонов, возможные в данном порядке теории возмущений.
Общее обсуждение этого вопроса читатель может найти в статьях
Блоха и Нордсика [62] (где впервые было дано решение проблемы
инфракрасных расходимостей), Паули и Фирца [626], Бете и Оппенгеймера
[49], Поста [400], Глаубера [320], Брауна и Фейнмана [91], Яуха и Рор-
лиха [390, 391], Ломона [505, 506], Прэнджа [650], Асколи [17, 18],
Наканиши [569] и Пенни, Фраутчи и Суура [875]. Мы вернемся к этому
вопросу в § 6.
§ 5. Поляризация вакуума
До сих пор мы еще не обсуждали матричный элемент (15.74), соответствующий
диаграмме д на фиг. 68. Для истолкования этого члена можно представить
себе, что замкнутая электронно-позитронная петля индуцирует ток
Ш = -?г n^(g)av(g), (15.128)
причем этот ток служит источником фотонов с импульсом q, который
действует на электрон и рассеивает его. Из требования инвариантности
этого индуцированного тока относительно калибровочного преобразования
av —> av + qyA(q) (15.129)
вытекает, что
nnv (<?) <?v = °- (15.130)
Точно так же, чтобы ток (q) сохранялся, он должен удовлетворять
уравнению непрерывности
Я^/п (Я) = (q) av(q) = 0, (15.131)
которое эквивалентно уравнению (15.130), так как тензор ntlV симметричен.
Оператор П^г (q) обычно называют поляризационным тензором. Запишем тензор
П^ (q) в виде
U^v(q)^=n(i)(q2)qliqv + q2U(2)(q2)gliv, (15.132)
где вследствие релятивистской инвариантности П( i) и П(2)
являются
функциями только от q2. Тогда уравнение (15.130) эквивалентно условию
П(1) (?2) = — П(2) (q2), (15.133а)
§ 5. Поляризация вакуума
521
так что выражение (15.128) для тока (q) должно сводиться к
