Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
массы) в результате взаимодействия с полем излучения. Вместе с тем
наблюдаемой является только масса т0 -Ь бт, так как по существует таких
экспериментов, при помощи которых можно было бы провести различие между
частью массы заряженной частицы, которая имеет электромагнитное
происхождение, и частью массы, имеющей механическое происхождение.
Поэтому мы отождествим величину т0-\-$т с наблюдаемой массой электрона.
(Имеются, конечно, электромагнитные добавки к массе в высших порядках
теории возмущений, и, строго говоря, с наблюдаемой массой т должна быть
отождествлена сумма всех этих добавок и «голой» массы пп0.) Так как в
нашей теории с обрезанием величина 8т мала (порядка постоянной тонкой
структуры а), то можно считать (15.52в) членом второго порядка в
разложении
(15'53)
Следовательно, если теперь выразить энергию через наблюдаемую величину т,
то результат теории возмущений приобретает следующий смысл: энергия
частицы действительно равна ii = p2/2m. Отметим, что совершенно
безразлично, конечна или бесконечна величина бт, так как перенормировка
массы проводится формально.
Изложенная теория в одном отношении все еще неудовлетворительна: в
исходный гамильтониан входит «голая» масса. Применим снова
g 2, Перенормировка массы и лэмбовский сдвиг в нерелятивистском
приближении 501
принцип Крамерса и запишем гамильтониан в виде
// = 4- Р2 — р-А «s
2 (т — от) (т — от) с г
^Яга(1 + ^------— р-А + ^^~ (15.54)
1 2т тсr т 2т v '
(члены порядка е3 опущены). Будем теперь рассматривать в качестве энергии
возмущения в гамильтониане (15.54) не только член (е/тс) р-А, но и член
(бт/т) (р2/2т), причем величину Ьт в низшем порядке по а выберем равной
со
Ьт = 4°^ - dk | F (Щ\ (15.55)
ОД. С J
о
Бри таком подходе энергия одноэлектронного состояния в е2-приближе-пии
строго равна р2/2т. Обратно, можно было бы определить величину Ьт в е2-
ириближении из требования, чтобы энергия физического одноэлектронного
состояния была равна р2/2т. Член (Ьт/т) (р2/2нг) обычно называют
контрчленом перенормировки массы.
Перейдем теперь к случаю электрона, движущегося но боровской орбите в
поле ядра, т. е. случай, когда V (х) = — Zc2/[x[. Гамильтониан системы
должен быть взят в виде
Н = НтяЛ + ?+У(х)-±Р.А + %? , (15.56)
где величина Ьт задана выше выражением (15.55). В этом гамильтониане,
поскольку нас интересуют только связанные состояния электрона, можно
сделать значительные упрощения. Для связанных состояний координата
электрона х по порядку величины равна боровскому радиусу. Отсюда следует,
что в разложении (15.46) можно заменить экспоненциальные множители
oxp(ik-x) единицей, так как F (к) обрезает импульсы, большие по сравнению
с тс.
Такое приближение называют дипольным. Оно эквивалентно пренебрежению
запаздыванием и эффектами отдачи при испускании и поглощении фотона
электроном. Иными словами, рассматривается взаимодействие электрона
только с такими длинными волнами, что передача импульса пренебрежимо
мала. В этом приближении разложение оператора А (х) запишется в виде
.—— 2
А (*) = V Ша S Y= 2 (к) (с* (к) + (к))- (15-57)
^ ~“к %=\
Применяя снова теорию возмущений, но в качестве иевозмугценных
собственных функций выбирая на этот раз собственные функции гамильтониана
Нтаа + (p2/2m) + V. (х). мы находим (Бете [50]), что для состояния с
квантовым числом п сдвиг уровня равен
СО
? S «nmrs + ? <«•*»
О г
где сумма по квантовому числу г распространяется на все состояния
электрона, a v есть оператор скорости электрона. Используя тождество
1 1 Ег Еп
Ет—Еп-\-к к к(Ет — Ёп-\-к) ’
(15.59)
502
Гл. 15. Квантовая электродинамика
можно переписать выражение (15.58) в виде
= - ет ИIf W 2 к-1*+? +
О г
fwi‘2!T?-%+f‘l- i15-80)
О г
Учитывая теперь, что v,lr = vrn и что
2 vnr-vrri = |v2|nri=LPi^, (15.61)
Г
мы видим, что первый член представляет собой как раз собственную энергию
электрона, находящегося в состоянии п. Следовательно, этот член взаимно
уничтожается с вторым членом в формуле (15.60)—контрчленом перенормировки
массы. Таким образом, в конечном итоге выражение для сдвига уровня
запишется в виде
- з-S {dk 2 <15-62*>
0 г
= JSi2l''»'l,(?,-?«)lnrg^Irr. (15.026)
Г
где К — энергия обрезания. По порядку величины К — тс2, и это значение
предполагается большим но сравнению со всеми разностями
энергий Ег — Еп в атоме.
В своей первоначальной работе Бете [50] фактически не использовал
контрчлена и не приписывал электрону конечных размеров порядка
комптоновской длины волны. Вместо этого он учел, что при перенормировке
поправки к кинетической энергии, обусловленные собственной массой, должны
быть вычтены из собственной энергии связанного электрона. Вычитание
понижает степень расходимости собственной энергии связанного электрона
от линейной до логарифмической. [Устремите
К к оо в соотношении (15.626).] Бете предположил далее, что этот же
принцип приведет к сходящемуся результату в теории дырок (в которой
собственная энергия расходится только логарифмически), и поэтому ввел в
