Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
порядка a (aZ)5 и а2 (аZ)4 и поправок на конечные размеры и конечную
массу дает для сдвига уровней 2«S4/2 — 2Pi/2 в водороде теоретическое
значение 1057,95 ± 0,15 Мгц, что хорошо согласуется с экспериментом. Учет
членов порядка a (aZ)6ln2 (aZ) и a (aZ)6 In (aZ) [481, 284] приводит для
водорода к согласию с экспериментом в пределах 0,07 ± 0,15 Мгц (см. табл.
10). Неопределенность 0,15 Мгц в теоретическом значении соответствует
невычисляемым эффектам конечных размеров 0,02 Мгц и тому, что вклад в
форм-фактор F (q2) четвертого порядка [831] не мог быть вычислен в
аналитическом виде и для него только были даны строгие оценки сверху и
снизу.
Таблица 10
Теоретическое и экспериментальное значения лэмбовского сдвига (Мгц)
н D Не
Теоретическое значение Экспериментальное значение . . . .
1057,70 ±0,15 1057,77 ±0,10 1058,96 ±0,16 1059,00 ±0,10 14046,3
±3,0 14040,2 ±4,5;
Таким образом, приближенная величина лэмбовского сдвига может быть
получена из среднего значения оператора Ас^ {q)aF (q) для рассматриваемых
водородоподобных состояний. Строго говоря, в этом случае выражение
(15.89) для Л<щ (рi, Рг) неприменимо, так как электрон уже не свободен
(р2 ф т2, ведь он связан в атоме!), а выражение (15.89) для вершинного
оператора было выведено в предположении, что р\ = р\ = т2. Однако при | р
J < тс отклонения от формулы (15.89) малы, и поэтому считают, что
соответствующими поправками можно пренебречь. Имеется и вторая трудность,
связанная с обсуждаемой методикой: второй член в формуле (15.89)
становится бесконечным, если устремить массу фотона Ямин к нулю. Такая
«инфракрасная катастрофа» является ложной и не должна была бы возникать в
выражении для лэмбовского сдвига уровней связанного электрона.
При описании рассеяния свободных частиц инфракрасные расходимости
возникают потому, что электрон может излучать и поглощать мяг-
518
Гл. 15. Квантовая электродинамика
кие фотоны, не очень сильно смещаясь с энергетической поверхности рг =
т2. Это дает электронные функции распространения с очень малыми
знаменателями, которые в сочетании с фотонными функциями распространения
приводят к инфракрасным расходимостям. С другой стороны, при вычислении
лэмбовского сдвига инфракрасные расходимости не могут возникать, потому
что в этом случае 4-импульс электрона не лежит на энергетической
поверхности свободной частицы. Таким образом, даже для очень малых
энергий фотона знаменатель электронной функции распространения равен не
нулю, а т2 — р2. Получающийся вершинный оператор логарифмически зависит
от этой величины. Поэтому фигурирующий в случае рассеяния свободной
частицы \n'ktmnlm в рассматриваемом случае эффективно заменяется на In
(m2 — р2) /т2. Поскольку для связанного водородоподобного состояния р0 —т
— е„, где е„ — энергия связи в состоянии п и j р | —' Ъалп, то
так что 1п?1М1Ш/т в задаче связанных состояний заменяется на
в логарифм Бете.
И из нерелятивистского рассмотрения в § 2 также видно, что при вычислении
лэмбовского сдвига не могут возникать инфракрасные расходимости. При этом
рассмотрении предполагалось, что фотоны имеют нулевую массу покоя и что
электрон связан. Выражение (15.62а) для лэмбовского сдвига (см. стр. 502)
имеет резонансный знаменатель ЕТ — Еп -j- j k j , который не обращается в
нуль для световых квантов с нулевой энергией j k j = 0, поскольку из-за
множителя Ет — Еп в числитель вносят вклад только состояния с г ф п.
Опишем теперь методику, которую обычно применяли при старых расчетах
лэмбовского сдвига. Нерелятивистский лэмбовский сдвиг вычислялся сначала
для световых квантов с нулевой массой покоя [выражение (15.62а)], а затем
снова для фотонов с массой покоя Лмин- В последнем расчете в знаменателе
{15.62а) к следует заменить выражением
Разность между результатами этих двух вычислений представляет собой
разность между лэмбовскими сдвигами связанного электрона,
взаимодействующего с поперечными квантами с нулевой и с конечной массой
покоя соответственно. Эта разность равна
Интеграл (15.126) сходится и на нижнем пределе (к = 0), и на верхнем;
следовательно, верхний предел К можно заменить на со. Кроме того,
существенный вклад в выражение (15.126) дают только значения А<Ямий-
Поэтому если выбрать Я,миН< те2, то все представляющие интерес
промежуточные состояния (г, к) в формуле (15.126) будут
нерелятивистскими. Следовательно, использованные в § 2 гл. 15
приближения, включая
Среднее значение этого оператора дает главный вклад
(ok = (k2 + XLIH)1/2.
'МИК
(15.125)
К
ДД (0) - № (Кшг) = 73^ 5 ЙА 2 I Ут I2 (Ег - Еп) X
0 Г
§ 4. Аномальный магнитный момент и лэмбовский сдвиг
519
дипольное, оказываются оправданными. Теперь к выражению (15.126)
прибавляют среднее значение выражения (15.89) для рассматриваемого
водородоподобного состояния, оставляя массу фотона Я,мин конечной. В
действительности величину кМИН следует выбрать большой по сравнению с
величиной энергии связи в атоме водорода (Хшш> 1 Ry), чтобы оправдать
