Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
параметр 0 при помощи соотношения sin2 0 = q2/-un2,
х) Три энергетических знаменателя можно объединить в один при помощи
повторного использования формулы Фейнмана (15.31) или при помощи формулы.
abc I) ^ ^[а (1 — х) фЬхуф сх (1 — у)]3
О О
2) В случае у2 > 4то2 внешний потенциал может рождать реальные пары,
и знаменатель, содержащий вспомогательные переменные интегрирования х и
у,
имеет полюсы. Вместе с тем интеграл хорошо определен, поскольку добавка
ге-дает однозначное предписание, как его вычислять. Возможность рождения
реальных пар, однако, практически не имеет большого значения, и поэтому
мы не рассматриваем случая у2>4т2. Вычисление оператора Av(plt р2), когда
р\ Ф т2-п р\ ф гга2, можно найти в статье Карплуса и Кролла [422].
§ 3. Радиационные поправки к рассеянию
509
то при сделанных предположениях выражение для Лс^ запишется в виде Лсв
(,):= ? { [ 2 ( Ш -=н— 1 ) ( ) - ) + в Ig в +
J itgxdr] . (15.88)
' tg 20
о
При малых значениях импульса q оператор Лс^ {я) имеет вид
А<щ(?) = ™ IV ] • (15-89)
Все эти выражения справедливы только тогда, когда р{ и рг являются
импульсами свободных частиц, т. е. p\ = p\ = rrii.
Следует отметить, что выражения (15.88) и'(15.89) стремятся к нулю, когда
приращение импульса q стремится к нулю, и что, с другой стороны,
логарифмически расходящийся (первый) член в выражении (15.87) не зависит
от q. Иными словами, только та часть оператора Л^, которая пс обращается
в нуль, когда q —> 0 или когда р2 стремится к ри содержит расходящийся
интеграл. Чтобы убедиться, что так и должно быть, зафиксируем импульс щ и
разложим оператор Л(1, определенный выражением (15.86), в ряд по степеням
разности р2 — рi или, вернее, по степеня.м компонент этого 4-вектора. При
этом для разложения оператора [у {p-i — к) — т]~х используем справедливое
для любых операторов А и В [252] общее разложение
?аЬ = ^-^в-л+А,•••’ (15-90а)
которое получается путем итерации тождества (15.906):
л^в=Аа—^ваТБ <15-906)
(-1 -/>' lh л ' /;. (15.90b)
Применим формулу (15.90а) к оператору [у-(р2 — к) — т\
1 1 1
1.
y-p2 — y-k—m у.Р1--у.(р2 — Р1) — у.к— т y.Pi — y./{ — m
--------=-------Y-(P'> — Pl) 1-л й •••? (15.91)
У'р| — y-k — гп 1 w ~ 1 ' У'Р^ — У'к — т
Ясно, что при больших к первый член будет порядка 1 /к, второй — порядка
1/А2 и т. д. Если подставить разложение (15.91) в интеграл (15.86), то
только первый член приведет к логарифмически расходящемуся интегралу по
к. Второй член даст подынтегральное выражение, которое ведет себя как
dkjk2, и поэтому соответствующий интеграл сходится. Последующие члены
ряда будут давать все лучше и лучше сходящиеся интегралы: член,
пропорциональный (p2 — Pi)ri, приведет
к подынтегральному выражению вида dk/kn+1. Это доказывает сделанное выше
утверждение, что расходится только Л1Х(/?1, щ) [т. е. только эта величина
зависит от регуляризующей массы М, см. (15.87)], но что
АС(1 (Ри jо2) = Ац (ри р2) - Ац, (ри р^ (15.92)
510
Гл. 15. Квантовая электродинамика
есть конечная величина (т. е. представляется сходящимся интегралом по к и
не зависит от регуляризующей массы). Формулу (15.92) можно рассматривать
как определение конечной части вершинного оператора с учетом поправок,
который обозначен в формуле (15.88) через АСд (по крайней мере для
случая, когда р{ и р2 есть импульсы свободных частиц).
Рассмотрим несколько подробнее член А^(р1у р4). Используя тождества
уЧ\'ц= — 2й, У11ИрУи = ^Р-к, уЧрЙУи = — Ц0,
убеждаемся, что Лц (ри р{) можно записать в виде
Лц(Рь Pi) = Byll + Rp(pi), где В — расходящаяся константа:
В = ~~ lim .
^ М->оэ Ч m 4 Амин J
а величина Вц (р4) конечна, причем
w(pi) Ru(Pi) “(Pi) = 0
и
Ли (Pi) = о.
VPl=wi
Выражение для полного вершинного оператора может быть записано в виде
Лц(Рг, Pi) = Лр. (pi, pO + iA^iPi, р1)-А»(ри р1)} =
= 5y(i + i?(1(p1) + AC(1(p2, Pi). (15.95)
Поэтому можно объединить вклады от диаграмм а и б на фиг. 67 и записать
М(а) + М(б) = + 2яг (1 + В) ей (р2) у ? а (р2 — pt) u (р4) +
+ 2ти (р2) еЛсц (р2, Pi) а» (р2 — Pi) и (р4). (15.90)
Ниже будет показано, что в электродинамике при совместном рассмотрении
диаграмм в и г на фиг. 68 член с константой В фактически пропадает.'
Следует подчеркнуть, что константа В зависит от выбора калибровки. Так, в
калибровке Ландау функция распространения фотона взята в виде Dfilv(P) —
(gnv — к^кчк~г)к~2, и константа В в е2-приближении имеет конечное
значение. Если выбрана калибровка Ландау, то единственная расходимость в
е2-приближении теории возмущений соответствует перенормировке массы и
устраняется контрчленом Ьт (Фрид и Пенни [282 J).
В теории перенормировок широко используется метод перенормировки при
помощи вычитаний. Примером может служить формула (15.95). Оператор [в
нашем случае Ай (pi, р2)] разлагают в степенной ряд по некоторой
величине, связанной с внешними переменными (в нашем случае по р2 — Pi).
Тогда только первый член (или несколько первых членов) этого разложения
будет содержать расходящиеся интегралы по внутренним переменным (в нашем
