Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
нерелятивистской теории обрезание для энергий фотона порядка тс2.
Полученная при таком предположении формула для сдвига уровня [50, 52,
357] совпадает с формулой (15.626). Вычисление при помощи этой формулы
дает для сдвига 25-уровня значение 1040 Мгц в удивительно хорошем
согласии с новейшими экспериментальными данными (1057,77 4- 0,10 Мгц)
[785].
Покажем, как проводить расчеты по формуле (15.626). В нерелятивистской
области значение логарифма очень велико, и удобно записать
2 (Ег-Еп) | Ргп |2 In = [ ^ (ЕТ - Еп) | р™ |2] In (?cP-_gn) t (15 63)
Г Г
где . Ну — постоянная Ридберга. Это выражение служит определением
величины Еср—Еп. Было найдено [52], что для 25-уровня атома водорода Еср
— Еп = 16,6 Ry. В случае водородоподобных атомов
$ 3. Радиационные поправки к рассеянию
503
Нт = (p2/2m) + V (х), V (х) = — Ze2/| х | и
з
2 (Ег-Е„) !р™ |2 = {- 2 (f/Ф f#™’ PiU)nn = г i= I
= ^ ф„ (х) V2F (х) як (х) d3x = 2nft2e2Z | я|з„ (0)|2. (15.64)
В этом приближении сдвиг уровня имеется только в 5-состояниях. Для
5-состояния с квантовым числом п соблюдается равенство | фп (0)|2 = =
(Z/mK'stfo)3, где а0 — боровский радиус. Поэтому выражение для сдвига
уровня приобретает вид
АЕ (5-состояния) = ± ^ Ry In • (15.65)
Для 25-состояния оно дает величину сдвига, равную 1040 Мгц.
Последующие вычисления с учетом релятивистских эффектов подтвердили, что
вычисленное при помощи принципа перенормировок Крамерса выражение для
сдвига уровня действительно сходится. В результате этих вычислений в
работах Швингера и Вайскопфа [710], Френча и Вайскопфа [280], Кролла и
Лэмба [464], Фейнмана [249], Швингера [713] и Бете [51, 52] для сдвига
уровня было получено значение 1052 Мгц. Баранджер [24 — 26], Карплус,
Клейн и Швингер [426], Фрид и Пенни [284] и Лайзер [481] произвели
дальнейшее уточнение расчета, особенно в связи с трактовкой компонент с
большим импульсом для электрона в 25-состоянии, и их результат совпадает
с наблюдаемой величиной в пределах 0,1 Мгц. (Обзор современного состояния
теории энергетических уровней водородоподобных атомов можно найти в
статьях Питермана [638] и Лайзера [481].)
§ 3. Радиационные поправки к рассеянию
Для иллюстрации метода перенормировок релятивистской теории полямы
подробно рассмотрим с учетом радиационных поправок рассеяние электрона на
внешнем электромагнитном поле [251 — 252]. Для этого случая плотность
гамильтониана взаимодействия запишется в виде
(х) = — eN [фу^фЛ^ (х)] — eN [фу^фП^ (х)] — bmN [фф (х)]. (15.66)
Первый член представляет взаимодействие электронно-позитронного поля с
квантованным полем излучения, второй член — взаимодействие с внешним
потенциалом Л^(х), причем предположено, что (х) = 0,
и, наконец, третий член —это контрчлен Для перенормировки массы. На фиг.
68 изображены диаграммы, соответствующие членам разложения (5-матрицы до
третьего порядка включительно, которые вносят вклад в рассеяние.
Волнистые линии с крестом на конце на фиг. 68 соответствуют внешнему
потенциалу.
к Матричный элемент, соответствующий диаграмме а на фиг. 68, был уже
исследован раньше. Этот матричный элемент перехода из состоя-
1) Полуклассическое исследование радиационных поправок, допускающее
простое физическое истолкование, было проведено в работах Велтона [830] и
Коба [459], а также в очень хорошей обзорной статье Вайскопфа [829].
Изложение методов перенормировок в «старой» теории возмущений можно найти
в статьях Льюиса [502] и Эпштейна [222].
•89 'J и ф
Z2 /г 29 19
§ 3. Радиационные поправки к рассеянию
505
ния с импульсом pj в состояние с импульсом р2 дается выражением
Rm {Ри Рг) = 2тм (р2) М(а)м (р,), (15.67а)
М(а) = (р2 — Pi), (15.676)
9м'«и(9)==0- (15.67в)
Здесь опущены нормировочные множители [т/Е (р)]1 Чт^еИспользуя
установленные ранее правила, для матричного элемента М{(‘\
соответствующего диаграмме Фейнмана б на фиг. 68, получаем
М'б) -1л-. \ МУ» ftYvav {Р2 - Pi) ><
Х V(^ -К)~ т —^^+г'е (lj-68a)
= Аv(p2, р^ eav (р2 — р^, (15.686)
где а = е2/4лйс = 1/137 (электрический заряд е взят в рациональной
системе единиц). Диаграмму б на фиг. 68 называют вершинной диаграммой, a
Av (р2, р{) — вершинным оператором. В формуле (15.68а)
функция распространения фотона 1 /к2 заменена на l/(fc2 — ^мИН), чтобы
избежать расходимость при малых к. Смысл этого приема будет обсужден
ниже.
Аналогично, операторы, соответствующие диаграммам el и г1, можно записать
в виде
- -S5 ** W Т-«<Л-0.) (15.69)
II
М(г1)= y-a(p2-pi)-~-^2(2,(Pi), (15.70)
где оператор собственной энергии во втором приближении теории возмущений
2<2> (р) дается выражением
(2)
(15.71)
Диаграммам с поправками к массе в2 и г2 соответствуют
М(с2)= —еЬт—^—— у-а (р2 — Р\) (15.72)
Г-; у • />2 — т. 1 7 ' 4 /
и
м<гг)= -e6my-a(p2-Pl) • (15.73)
Наконец, диаграмме б, которая соответствует эффекту поляризации вакуума и
будет обсуждена в § 5, соответствует
а>_Г1'а<,а 1
i Н --- ------
где
М'“ = SV П»-»" (Р* - А)' (15-74>
п„ й)= ( iVSp [7»T.(p+‘g)_„ (15.75)
