Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
метод «регуляризации». Он состоит в том, что сначала все сингулярные
выражения «рсгуляризуются», а затем производится предельный процесс. Так,
если
I(M) = ^ d4cJ(k, М) (15.42а)
является расходящимся интегралом по внутренней линии с массой М, то
регуляризованный интеграл /д (М) определяется формулой
N N
In {М) = 2 CtI (Mt) = J 2 °iJ (k- Mi) d% (15.426)
i=l i=J.
причем Сi=l и М^—М.
На постоянные Ct и Mt накладываются определенные ограничения, достаточные
для того, чтобы интеграл (15.426) стал сходящимся. Найдено, что в
электродинамике условия
2^ = 0 (15.43а)
= 1
И
N
2 CiM\ = 0 (15.436)
достаточны для достижения этой цели. Предельный процесс заключается в
устремлении значений вспомогательных масс М, (г = 2, 3, ... ) к
бесконечности.
Условия (15.43) обеспечивают отсутствие особенностей у регуляризо-ванных
функций А и Дш на световом конусе, присущих соответствующим
нерегуляризованным функциям [напомним равенства (7.179) и (7.182) и
отметим, что условия (15.43) полностью устраняют особенности]. Выпол-
§ 2. Перенормировка массы и лэмбовский сдвиг в нерелятивистском
приближении 497
нение условий (15.43) оказывается достаточным, чтобы сделать сходящимся
выражение для собственной энергии электрона при условии, что производится
регуляризация всего выражения в целом, а не его отдельных частей. После
выполнения в конечном итоге предельного процесса Mi -* со (i = 2, 3 . .
.) снова появляется логарифмическая расходимость.
Описанная выше методика по терминологии Паули и Вилларса является
«формалистической теорией», в которой даются чисто формальные рецепты для
вычисления расходящихся интегралов, в противоположность «реалистической
теории», в которой математический аппарат, приводящий к сходимости,
получается как следствие взаимодействия с другими полями (см., например,
статью Пайса [609]).
Следует отметить, что на каждой стадии вычисления собственной энергии
методом Фейнмана сохраняется релятивистская инвариантность теории. Это
очень важно, так как становится возможным однозначное выделение эффектов
собственной энергии н получается, что собственное натяжение фермиона S
(0) равно нулю. Величина S (0) определяется как среднее значение
пространственно-пространственной компоненты симметри-зованного тензора
энергии-импульса системы полей в одночастичном состоянии с нулевым
импульсом
У(0) = (Ф1, П(х)Ф1) (15.44)
(суммирование по i не предполагается). Напомним, что оператор энергип-
пмпульса системы связан с тензором соотношением Рц = ^ do^T^
п что этот оператор преобразуется как 4-вектор, если Тявляется тензором
второго ранга. Если рассмотреть две различные лорепцевы системы отсчета
О' и О, причем в системе О частица покоится, а в системе О' имеет импульс
р' и энергию Е', то возникает вопрос о том, связаны ли величины р' и Е'
[вычисленные при помощи тензора T'^v(x')] преобразованием Лоренца с
соответствующими величинами, вычисленными при помощи тензора?1^'.
Оказывается (см. статьи Пайса и Эпштейна [610], Рорлпха [666, 668],
Вилларса [810], Боровича и Кона [77], Такахашн п Умэдзава [765], а также
Арну и Гайтлера [15]), что необходимым условием для этого является
равенство нулю собственного натяжения. Последнее будет равно нулю в любой
релятивистски ковариантной теории без расходимостей. Поэтому любое
ковариантное обрезание (такое, как в методе Фейнмана) будет автоматически
гарантировать исчезновение собственного натяжения, так как оно
обеспечивает сохранение ковариантности теории в ходе вычислений.
§ 2. Перенормировка массы и лэмбовский сдвиг
в нерелятивистском приближении
В этом параграфе мы проиллюстрируем принцип перенормировки на задаче о
лэмбовском сдвиге — исторически первой задаче, которая была решена при
помощи этого принципа. Когда Крамере в 1947 г. выдвинул этот принцип,
Лэмб и Ризерфорд [469] как раз измерили смещение уровня водорода 2S
относительно уровня 2Р. Следуя идее Крамерса, Бете [50] интерпретировал
лэмбовский сдвиг уровней как эффект взаимодействия электрона с полем
излучения. Фактически Бете просто вычислил собственную энергию электрона,
связанного в атоме. Но, согласно идее Крамерса, основная часть
собственной энергии уже учтена, если в расчетах исполь-
32 с. Швебер
498
Гл. 15. Квантовая электродинамика
зуется наблюдаемая масса электрона т, а не «голая» масса т0. Таким
образом, истинный сдвиг уровня равен разности между собственными
энергиями связанного и свободного электронов.
В нерелятивистском приближении, использованном Бете в 1947 г., нужно
рассматривать взаимодействие электрона только с поперечными
электромагнитными волнами. Гамильтониан для описания электрона,
движущегося в некотором потенциале V (х) и взаимодействующего с полем
излучения, имеет вид
Здесь выбрана калибровка излучения, в которой для описания излучения
используется только вектор-потенциал А, причем drvA = 0, % — — д0А =
(i/ft) [А, Н] и 3$ = rot А. В картине Шредингера разложение квантового
оператора поля А (х) по операторам рождения и уничтожения фотонов с
