Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
q = P2 — Pi- (15.76)
-506
Гл. 15. Квантовая электродинамика
Следует отметить, что хотя здесь избран случай внешнего поля, так же
прост и случай, когда внешнее поле заменено внутренней фотонной линией. В
этом случае все множители (q) были бы заменены множителями q~2eуд,
соответствующими функциям распространения фотона, входящим в появляющиеся
вместо крестов вершины (должны быть также
б-функции, отвечающие закону сохранения импульса р2 — Pi = q)-Затем
проводился бы последующий анализ. В этом случае диаграммы на фиг. 68 были
бы частями более сложных диаграмм, например диаграмм, показанных на фиг.
69 и соответствующих взаимодействию электрона •с протоном (обозначенным
двойными линиями).
Анализ диаграммы а на фиг. 69 дает возможность понять условия, при
соблюдении которых источник виртуальных фотонов может рассматриваться как
«внешний» потенциал. Пусть н[)’(<7) — амплитуда образования источником
виртуальных фотонов с импульсом q и поляризацией ц. Тогда матричный
элемент рассеяния электрона на этом источнике посредством поглощения
одного фотона (фиг. 70) будет пропорционален выражению
Мш = [ d*q —-Ц ^------------------ в™ (9). (15.77)
J y-{Pi + l) — m y-Pi — m д ' '
Аналогично, если амплитуда излучения источником двух фотонов есть (?!•
7г)> то матричный элемент рассеяния электрона благодаря погло-
§ 3. Радиационные поправки к рассеянию
507
щению двух фотонов будет пропорционален выражению
Если источник обладает тем свойством, что излучение первого фотона не
приводит к существенным изменениям его состояния, амплитуда излучения
второго фотона не зависит от того, был или не был излучен предыдущий
фотон, т. е. если
то такой источник называют «внешним» потенциалом. Очень тяжелая
заряженная частица обладает свойством получать пренебрежимо малую отдачу
при излучении фотона с энергией cok< М. Следовательно, такой источник
ведет себя подобно внешнему потенциалу. (Описание излучения классических
систем дано в статьях Глаубера [320], Тирринга и Тучека [775] и Швингера
[718].) Аналогично, излучение заряженной частицей очень мягких реальных
фотонов в хорошем приближении можно описывать в рамках классической
теории. Это приближение, которое состоит в пренебрежении реакцией заряда
на взаимодействие с электромагнитным полем, впервые узаконили и применили
Блох и Нордсик [62].
Чтоб подробнее познакомиться с этим в случае виртуального испускания,
рассмотрим снова диаграмму а на фиг. 69, предположив, что двойная линия
представляет тяжелую частицу со спином Уг, массой М > тп н зарядом Ze.
Амплитуда рассеяния электрона из состояния с импульсом pt в состояние с
импульсом Рг — Рi + к будет тогда пропорциональна выражению
<in*. • -и» (Яи • • • Яп) = Ы • • • (?п).
(15.79)
И стаи нин фотонов
Фиг. 70.
R' = Ze26(4) (р2 4-q2—pi~ qi). им (q2) у»им (qt) ит (р2) (Pi)- (15.80)
Напомним, что
им (q2) Уцим (qi) = YmUm ^+ 'Yu'Y* 9i] им (ш) (15.81а)
= 2ЯГ (?‘ + q2^ “м (q2) им М +
-У 2м (q2) °vhum(qi). (15.816)
В этом разложении первый член соответствует вкладу от заряда, а второй —
вкладу от магнитного момента. В том приближении, когда пренебрегают
отдачей, т. е. когда полагают q2-=qu второй член равен
508
Гл. 15. Квантовая электродинамика
нулю. В системе покоя тяжелой частицы пренебрежение отдачей означает, что
qi v,^q2V, = Mgw. (15.82)
В этом случае выражение (15.81) становится равным единице, так как им (0)
им (0) = 1. Поскольку q2 = qi — k, то
q\ = М2 — (qi — k)2 = М2 — 2 A>?t + к2. (15.83)
Квадрат пространственно-подобного вектора k2 = 2k-qt в системе отсчета, в
которой массивная частица покоится, равен 2к0М. Отсюда к0 ^ —k2/2М п 1
1 f 1 Л 1
А2 к2 V, 1 — к2/4АА2) к2 ’ (1о.84)
что соответствует кулоновскому потенциалу. Таким образом, если пренебречь
отдачей, то формула (15.80) сводится к
R'~-um (р2) у0 |-j~~у2 ит (Pi) Ьт (pw - р10) б<3) (р2 - Pj - Aq) (15.85)
и представляет собой амплитуду рассеяния электрона с передачей импульса
Aq в кулоновском поле массивной частицы.
Вернемся теперь к основной задаче этого параграфа, а именно к анализу
диаграмм фиг. 68. Рассмотрим сначала диаграмму б, которая, как мы видели,
соответствует оператору Av (р2, pi)av(q). Очевидно, что интеграл в
выражении для Л
1 1
y-(Pi-k)-
Х-,2 J - (15.86)
к—А-мин-!-^
логарцф.мпчески расходится, поскольку при больших к знаменатель ведет
себя как /с4, а числитель—как №к~к3с1к. Используя метод регуляризации
(см. статью Фейнмана [252], приложение В), можно вычислить1) интеграл
(15.86). С этой целью в выражении (15.86) функция распространения фотона
(А:2 — ^шШ)_1 заменяется на (к2 — /^„пГ1 — — (к2 — М2)'1, где М— большая
«регуляризующая масса». Регуляризо-ванное выражение может быть записано в
виде
+ (15.87)
Величина Лер, (?) представляется интегралом, который сходится при больших
импульсах к (хотя и расходится в пределе Атш —> 0). Фейнман вычислил этот
интеграл для случая, когда ?2<4т2 и р\ = р\ = т2, пренебрегая членами,
которые в пределе Ашга —> 0, М —> со обращаются в нуль 2). Если ввести
