Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
равен нулю. Интеграл Фейнмана (15.31) есть частный случай следующей
формулы:
1 1 п
1 ni f С dzidz^dzg... dzn
— (re — 1)! .. С dzi dz2 d4 ??? dzn V. z--
aia2a3 • ? ? an J J [а121“Ья222 X ? ? ? ~\~anzn]n
’ 1 *
0 0 1=1
- 1.
Интегралы такого типа рассмотрены, например, в учебнике Гурса и Хедрика
[335]. Этот интеграл можно вычислить также, вводя в подынтегральное
выраже-
494
Гл. 15. Квантовая электродинамика
которая получается из формулы (15.31) дифференцированием по а. Тогда для
объединенного знаменателя получим
(к2 — ц2 — L) z + (к2 — 2р • к) (1 — z) =
= к2 — 2р- к (1 — z) — (ц2 + L) z =
= [к - р (1 - z)]2 - М2 (1 - z)2 - (ц2 + L) z, (15.33)
где снова учтено, что р2 = М2. Введем затем переменную к' = к — р (1 —
z), после чего интеграл приобретает вид
Фч г' <«•«>
о
Штрихи можно теперь опустить, и знаменатель стал функцией только от к2.
Далее, интегралы вида ^ d^kk^f (к2) равны нулю из соображений симметрии.
Вообще из свойств симметрии вытекает, что
^ dik (нечетное число множителей вида /(/с2)=0, (15.35а)
J d4k k^Kf (к2) = ± J d4kk2f (к2). (15.356)
Поэтому в интеграле (15.34) член с у-к равен нулю. Если бы обрезания не
было, то это означало бы, что интеграл расходится только логарифмически,
а не линейно.
Нам нужно вычислить, таким образом, следующий интеграл:
+оо
' >- S d‘k (»? <15-зв>
— со
где С = т.2 (1 — z)2+ (|r2 + L) z есть положительно определенная
величина. Как уже указывалось, контур интегрирования проходит по
вещественной оси, а полюсы смещены с нее за счет добавки Фейнмана — is к
массам частиц. Можно, однако, повернуть контур интегрирования на 90° в
комплексной плоскости и интегрировать по контуру вдоль мнимой оси от —
ioo до +гоо. Допустимость этой процедуры основана
ние 6-функцию б( ^ zj — l) . С другой стороны, можно записать
г=1
1 Zi Zji—2
--------------=(п—1)! \ dz> \ dz2 ... \ dzn_\ X
aia2a3 • ? • ап J И .)
0 0 0
1
^ _ . =
[anZn-l4- an-i (z7l—2----Zn-l) + - ? • +а1 (1 Zl)]n
1 1 1
= (л-1)1 ^ ^ 2 ... J dg„_lX
0 0 0
1_________________________________________________________________
[aiS 1S2 ••• fen-l + a2?l ••• Sn-2 (1 ?71 — 1)+ • • • +an(l 5l)]n
§ 1. Собственная энергия фермиона
495
на том, что при повороте нигде не пересекаются особые точки, так как они
расположены над отрицательной вещественной осью и под положительной
вещественной осью. Поэтому можно ввести новую переменную интегрирования
к0--1кк и интеграл (15.36) превращается в интеграл по четырехмерному
евклидову пространству:
+со +гсо
I=[ dsk [ -7^1°Г . -Го - — А ? (15-37)
—г со
После введения в четырехмерном пространстве сферических координат элемент
объема станет равным 2n2ksdk, и в конечном итоге интеграл I сведется к
ОО СО
т о Г к 3dk ? о Г х dx гЯ2 ,.с оо\
2я 1 ) (k^-C)3 = — ш 2С • (15.38)
0 О
Отметим, что значение аналогичных интегралов с другими показателями
степеней в знаменателе может быть получено интегрированием или
дифференцированием интеграла I по параметру С.
Таким образом, собственная энергия во втором порядке теории
возмущений равна Допуская ^ dk^
1
м? G2 М 1 Г j f ,г
о о
Хш(р) [Г(у-р2 + М)Г]ш(Р)-р^2^2)Д_-р^^1]- . (15.39)
Когда Г = 'у5, получаем
А ? =
м 1 ш(р)ш(р) \dz 5 , (15.40а)
4л;Лс Е (р) 4я
о о
где учтено, что у ? pw (р) = Mw (р). Интегрирование по L приводит к
А „ М G2 1 ~ , . . .
АЕ = -. -.-г, —/ т—т— w (р) w (р) X Ь (р) 4nhc 4я У1' vr/
X М j In ' I15-406»
0
В пределе ?i->oo можно пренебречь в числителе логарифма членом p,2z +- М2
(1 — z)2 и оставить только член k2z. Если, кроме того, пренебречь массой
ц по сравнению с массой М, то
A?=/rfc- [1п(^)“4] Ир) Ир)- (15-40в)
Это выражение логарифмически расходится в пределе к —> оо. Точное
вычисление интеграла (15.406) приводит к результату
’ „ М G2 М Г. / к2 \ 1 , X р, N2^4 Р2 Ai
Р
? ~ Е (р) Anli с 8я I П V М* ) 2 + М2 j t 2М2 J
М
_2(^г)3 ^1_Warccos 2Ж ] Ир)Ир)- (15.40г)
496
Гл? 15. Квантовая электродинамика
Поэтому изменение массы равно
ш-таЬ--Е-[Чт?)-4 + °(/я-)]- (15'41)
Таким образом, в ковариантном формализме Фейнмана в четкой форме
показано, что собственная энергия соответствует изменению массы.
Соб-
ственная энергия фермиона, взаимодействующего со скалярным бозонным полем
посредством скалярной связи, расходится тоже логарифмически, но имеет
противоположный знак по сравнению с псевдоскалярным случаем
4я he М
Знак собственной энергии электрона во втором порядке теории возмущений в
квантовой электродинамике такой же, как и в псевдоскалярном случае,
причем
А Зе2 Л *2 . 1 Л
от ~ яг-т— т—- ) .
4я V те2 2 J
В случае свободного электрона выражения, соответствующие диаграммам на
фиг. 66, при этом выборе 6т взаимно уничтожаются (в низшем порядке теории
возмущений).
Только что изложенный метод обрезания Фейнмана может рассматриваться как
частный случай общего формального ковариантного метода обращения с
расходящимися интегралами, предложенного Паули и Вил-ларсом [631] (см.
также работы Штюкельберга и Ривьс [664, 750, 751]). Их метод известен как
