Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
случае по к). Затем эти члены релятивистски инвариантным образом
отбрасываются, для чего используется либо перенормировка массы, либо
перенормировка заряда, которая будет описана в § 5 гл. 15, либо замечают,
что они взаимно уничтожаются с другими бесконеч-
(15.93а) (15.936) {15.93к.
(15.94а)
(15.9-46)
(15.94в) (15.94г)
§ 3. Радиационные поправки к рассеянию
511
ными членами, как это было в случае нашего Л^, либо в отдельных случаях
вводят в исходный лагранжиан специальные члены, как, например, в случаях,
которке будут обсуждены в гл. 16. Конечные члены, которые остаются после
такого отбрасывания, принимаются в качестве перенормированного выражения
для рассматриваемого оператора. В остающейся части книги мы
систематически будем сталкиваться с этой методикой.
Изучим теперь члены (15.69) и (15.72). Они содержат множитель (у-р —
т)'1, что приводит к трудностям, так как матричные элементы 3f(«l) ц
7lf(e2) должны быть взяты между двумя состояниями свободных частиц, и
поэтому знаменатель становится равным нулю. Хотя сумма числителей в
выражениях для MG1') и М^2) такяге оказывается равной нулю, это только
приводит к неопределенности типа 0/0. Чтобы получить однозначный
результат, следует ввести в явном виде затухающие множители, которые
необходимы для правильного определения начального и конечного «голых»
состояний (см. гл. 11), поскольку указанная неоднозначность существенно
связана с предельным процессом, при котором начальное и конечное время в
матрице U (t, t0) устремляются к ±оо. Если не соблюдать предосторожность,
то, применяя предельный процесс, можно нарушить унитарность -S-матрицы.
Фейнман [252] и Дайсон [194, 199] показали, как преодолеть эту трудность
(см. также статьи Карплуса и Кролла [422] и Людерса [516]). Если ввести в
явном виде затухающую функцию g (t), которая адиабатически включает и
выключает взаимодействие между полями, то гамильтониан взаимодействия
заменится выражением1)
Предполагается, что время, на протяжении которого функция g (t)
существенно изменяется, значительно превышает длительность процесса
рассеяния. Если обозначить фурье-образ функции g (t) через С(Г0), то
где введен вектор 1Д=(Г0, 0, 0, 0). Выбрана нормировка, при которой
и предположено, что функция С(Г0) ведет себя почти как дельта-функция и
существенно отличается от нуля только для значений Г0, равных по порядку
величины Т~г.
Если подставить гамильтониан взаимодействия (15.97) в разложение -S-
матрицы, то выраягение (15.70), например, заменится на
х) Будучи радиационным эффектом второго порядка, Sm, должно быть умно-
жепо на [g(0]2-
Л71 (х) --> - eg (t) N [ф (х) Чцф (;х)] (Л11 (х) + Аф (х)) -
— 6тп [g (t)]*N Сф (х) ^ (х)). (15.97)
4-со
g(t) = 5 G (Го) e_ir°' dr0 = ( G (Г0) e~ir'*drn, (15.98)
— СО
—со
*(0)=S с(г0)<гг„ = 1,
(15.99)
— СО
I Р, _ г - Г') —:-------------;---х
VtPHT + IV 1-Гц)-т
X 2<2> (Pl + Г) G (Го) G (К) dr,dr0. (15.ЮС)
512
Гл. 15. Квантовая электродинамика
V (2)
При Т—>оо, а также Г0 и Г'—>0 подынтегральное выражение может быть
преобразовано. Функция распространения электрона превратится в
________1___________ (Pi\i + Гц-4- Гц)фm ^ y~Pi^tm 1 /к 1A1V
+ 2/;г(Г^Г') + (Г+Г')2~ 2Ло(Г10 + Гу ’
причем учтено, что для свободной частицы р\ = т2. Следовательно, если
использовать для разложения оператора 2t2) (pt А Г) соотношение
лЬ = ~Ф-7Г54- + 15151+--- (15-102)
и оставить в разложении оператора 2(2) только члены первой степени по Г,
то
2»(„ + Г) = а ^ ^ -
(pi)—а 5 #»Г TRSTfpr 1VX
X ЧГ Г- = S<2> (Р‘) - Г ^ Г- (15-ЮЗа)
А Ам1шЛ“ге
где /v (р) — логарифмически расходящийся интеграл, тесно связанный с
оператором Av (р1, pi):
I\ (Pi) = 4я3г Av (pi, р^. (15.1036)
Используя формулу (15.103), можно записать подынтегральное выражение в
интеграле (15.100) в виде
ЯЛ+ТЛГ)=7„ I”” (??) - Г <Р>) г-1- <15л04>
Если аналогичным образом ввести затухающую функцию g(t) в выражение
(15.73) для матричного элемента М(гх), то оно примет вид
М{г2) = — ^ ^ ебт у ? а (р2 — Pi — Г — Г') ><
X YT(7t—r^n-wG(r°) G dr°dro- (15Л05>
Поскольку 2<2) (р\ = то2), исключая постоянный множитель (— ij4л3),
определяется как бто, то ясно, что [Л/(г2) взаимно уничтожается с частью
матричного элемента М('г1), содержащей 2(2)(pi). Фактически это есть
перенормировка массы. Таким образом, мы получаем
Мм + м(г2) = - ?3 J $ dT0 dT'0 G (Г0) G (г;) X
х у ? а (р2 - Pi - Г - Г') Д п_т Г (Pi) rv. (15.100)
Далее, из релятивистской инвариантности следует, что величина Iv (pi)
преобразуется при преобразованиях Лоренца как 4-вектор, и поэтому она
должна иметь следующую структуру1):
Г (Pi) = /о> (Ti) Yv + I <2, (К) (У-Pl- т) yv +
+ /<3, (pl) t: (y-Pi-m) + Iw (p\) (y-Pi-m) yv(y-Pi -m), (15.107)
x) Отметим, что член вида /' (/j2) pv всегда может быть записан в виде
1/2 7' (pl) (yvp-\-pYv), так что выражение (15.107) действительно
описывает наиболее общую структуру Iv (pi).
§ 3. Радиационные поправки к рассеянию
513
где /(1), /(2), ... — функции инварианта р2. При действии 7V (р4) на
