Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
— у) = (р'(х) ср'(у) заменяется новой функцией
-у АР Reg (х — у) = ^ Fx ^ Fy'Fix — x')F{y — у')<р (ж')ср‘ {у’). (15.24)
Путем подходящего выбора функций F можно сделать AFReg гладкой функцией
от аргумента (х — у)2, не имеющей особенностей. Ясно, что можно подобрать
функцию ARReg многими способами, выбирая по-разному функции F. Простейшим
вариантом, по-видимому, является вариант, предложенный самим Фейнманом
[249], при котором функция распространения
492
Гл. 15. Квантовая электродинамика
бозона (к2 — р,2) 1 заменяется на
СО
A^Reg(&2)=^ [ к2 — р.2 Jfc2 — |Л,2—Х'з] G (^) ^ =
О
оо
- $ (тт^т) С W <*? (15.25)
О
Значения переменной к, которыми определяется функция G(А,), значительно
превышают массы М и ц, п эта функция так нормирована, что
ОО
^ С (X) ??л. = 1. (15.26)
о
Следовательно, если не интегрировать по X, то в пределе X -*?
со получится функция распространения локальной теории1). Каждый
интеграл
по импульсам виртуальных бозонов, который раньше содержал множитель (к2 —
ц2)-\ теперь содержит улучшающий сходимость множитель С(к2)
со
С (к2) = - $ dXG (X) к, * ; (15.27)
о
этого достаточно для обеспечения сходимости всех интегралов по импульсам
виртуальных бозонов. Обход полюсов по-прежнему определен в смысле
Фейнмана, т. е. масса ц содержит малую отрицательную мнимую часть.
Следует подчеркнуть, однако, что метод обрезания Фейнмана есть формальный
вычислительный прием, вовсе не дающий последовательной теории.
Действительно, в электродинамике, например, функция распространения
фотона ijk2 будет заменена выражением (/с2)-1 — (к2 — ^2)-1, что может
рассматриваться как результат введения добавочного взаимодействия
электронно-позитронного поля с векторным полем, кванты которого имеют
массу X и функция распространения которого есть —(к2 — Я2)'1. Однако знак
минус означает, что эти кванты связаны с зарядами посредством множителя —
е2, так что лагранжиан взаимодействия должен иметь мнимую константу связи
ie, откуда вытекает неэрмитовость этого лагранжиана j?i. Таким образом,
вероятность не будет сохраняться. В самом деле, можно проверить, что при
использовании указанных выше модифицированных функций распространения в
теорию будет введено нарушение сохранения вероятностей порядка т21Х22).
В качестве иллюстрации Современной ковариантной техники интегрирования
(см. статью Фейнмана [252], особенно приложения) вычислим
х) Точнее, формула (15.25) будет соответствовать свойственной локальной
теории функции распространения (к2—р2)"1, если положить G(X) = 6(X—Х0) и
перейти к пределу Х0 -^-со.— Прим. ред.
2) Знак минус перед (к2—Х2)^1 можно связать с тем, что норма состояний с
нечетным числом квантов векторного поля с массой X отрицательно
определена. Следовательно, унитарность теории (сохранение вероятности)
действительно нарушается. Однако приводимая автором оценка меры нарушения
унитарности т2/Х2 не справедлива. Так, если в импульсном пространство
рассматривать процессы при энергии ниже порога рождения иефизических
векторных квантов с массой X, то унитарность вообще не нарушается, хотя
состоятельность такого подхода спорна. Изложенные соображения носят общий
характер и относятся к любой регуляризации по Паули и Вилларсу (см.
ниже). В случае теории заряженных векторных полей они использовались в
[887, 901].— Прим. ред.
§ 1. Собственная энергия фермиона
493
теперь, используя метод обрезания Фейнмана, собственную энергию фермиона
в теории, в которой «55j = G : фГфср Если интегрировать по dk только в
самом конце расчета и заметить, что
- 5 ? (15-28)
1 1
&2 — *2_,j,2_A,2
О
то интеграл собственной энергии (15.5), (15.2) приобретает вид -г G2 м
Д Е =
4л3 inhc Е (р) Я.2
X 5 (р) ( dL I d‘kГ ТУ?-0+«- Г ю (р). (15.29)
О
Рассмотрим сначала интеграл по /с. Вследствие того, что сделано
обрезание, этот интеграл сходится. Так как мы имеем дело со свободной
частицей, для которой р2 = М2, то соответствующий фермионной линии
знаменатель (р — к)2 — М2 может быть упрощен:
р2 — 2р-к + к2 — М2 = к2 — 2р-к. (15.30)
В (15.29) оба знаменателя можно объединить в один, являющийся функцией
только от к2, если воспользоваться замечательной формулой Фейнмана ’)
1
1 С dz
ab J 0
Так как в рассматриваемом примере один из множителей имеет вид (к2 — \i2
— L)2, то следует использовать формулу
1 Г 2zdz (15.32)
cflb J [az-\-b (1 —z)]3 ’ 0
г) Для вывода этой формулы заметим, что
ъ
1 1 г 1 1 \ 1 с dx
ab b — а \ a b J b — а J х2 ’
о
и введем в последний интеграл новую переменную x = az-\-b (1—z).
Равенство (15.31) в той форме, в которой оно записано, справедливо для
всех значений а и Ъ. Если, однако, а и Ь имеют противоположные знаки, то
z следует рассматривать как комплексную переменную, а контур
интегрирования должен отклоняться от вещественной оси, чтобы обойти
особенность в точке z = bj(b — а). Фактически можно выбрать любой контур
интегрирования, соединяющий точки z = 0 и z='l, но не проходящий через
особую точку, поскольку вычет подынтегрального выражения в особой точке
