Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
(х) ф (х)\. Точнее говоря, вклад от члена —бМ : ip (я)ф (.х) : всегда
должен рассматриваться вместе с вкладом от диаграмм собственной энергии
фермиона (они взаимно уничтожаются в случае свободной частицы). Например,
следует рассматривать диаграммы на фиг. 66 вместе. Кружок на диаграмме б
соответствует вкладу от члена бМ : фф :. Затем бесконечная величина бМ
определяется таким образом, чтобы вклад от собственно-энергетической
диаграммы а взаимно уничтожился с вкладом от диаграммы б в случае
свободного фермиона, масса которого в точности равна наблюдаемой массе М.
В более общем случае, если мы рассмотрим все собственно-энергетические
диаграммы, вносящие вклад в амплитуду вероятности того, что электрон в
состоянии [Ф (Ер, ps))
(-Ер = (р2 -f- М2)1/2) останется в этом же состоянии, то эта амплитуда, с
точностью до численных множителей, есть
Ф и г.
Л = ги*(р)[1 + 2'(Р)]^(Р), (15.11а)
где через 2'(р) обозначен вклад от всех собственно-энергетических
диаграмм фермиона, часть из которых изображена на фиг. 67. Требование
перенормировки массы заключается в том, что при р = М, р2 = М2, величина
Е'(р) должна быть равна нулю [так как мы включали в 2'(р) вклад от члена
бМ'\. Когда диаграммы на фиг. 67 соответствуют модификации внутренней
линии, первоначальная функция распространения (р) = (р — МУ1 превращается
в
to - w tf=w ? <15-"б>
Принцип перенормировки массы может быть также сформулирован
как
требование, чтобы полюс модифицированной функции распростра-
-&М
+
Фиг. 67.
нения S'p (р), рассматриваемой как функция от у-p, находился в точке,
соответствующей экспериментальной массе частицы. Отметим, что эти
требования фиксируют величину б М. Например, поскольку диаграмма а на
фиг. 66 дает вклад в порядке ?2, то это определяет величину бМ в этом
порядке. Аналогичным образом определяются члены разложения величины ЬМ по
G2 в высших порядках. Чтобы учесть собственную энергию мезона в
лагранжиан, нужно ввести контрчлен бр2 : ф2 (х) Мы вернемся к этому
позже, в § 8.
486
Гл. 15. Квантовая электродинамика
Вычислим теперь во втором порядке теории возмущений собственную энергию
электрона (или, что эквивалентно, величину 6т), возникающую из-за его
взаимодействия с квантованным электромагнитным полем. В этом случае
формула (15.2) приобретает вид
)d‘kr (15Л2)
и нас интересует только случай свободной частицы, когда $> = т, р2 = т2.
Используя соотношения
(15.13а)
'YM"Vv'Vn = — 2yv, (15.136)
иолучаем
<«.н)
При больших к оба знаменателя ведут себя как к2. В этом пределе вклад от
члена у- к равен нулю из соображений симметрии, и подынтегральное
выраяшние при больших к пропорционально k3dk/k4. Поэтому интеграл
логарифмически расходится. Хотя здесь не учитывалось, что метрика
является не евклидовой, а гиперболической, ниже будет
показано, что и более тщательный анализ подтверждает этот
результат. То,
что собственная энергия электрона в квантовой электродинамике должна быть
бесконечной, было выяснено еще в 1929 г. Уже в те годы Гейзенберг и Паули
[362, 363] указали на это, а Уоллер [814], Оппенгеймер [604], Розенфельд
[675] и другие вычислили собственную энергию электрона в одноэлектронной
теории Дирака и обнаружили, что она квадратично расходится. В 1934 г.
Вайскопф [825, 826] заново рассчитал собственную энергию электрона,
используя дираковскую теорию дырок, и нашел, что расходимость является
только логарифмической. В расчетах «старинными методами» электромагнитной
собственной энергии обычно рассматривали отдельно вклад от статического
кулонова поля и вклад от поперечного ноля (см., например, работу
Вайскопфа [828]). Эта методика подсказывалась нерелятивистским пределом,
в котором преобладает вклад от статического поля.
Интересно изучить взаимосвязь между собственной энергией, появляющейся в
квантовой электродинамике, и собственной энергией, встречающейся в
классической теории излучения1), и понять различие между ними. Проще
всего ввести собственную энергию в классической электродинамике,
отояедествив ее с электрической и магнитной энергиями собственного поля
электрона. Другой подход, принадлежащий Лоренцу [508, 509], основывается
на том, что собственное поле электрона затрудняет ускорение электрона во
внешнем поле и поэтому эквивалентно добавочной массе электрона. Эта
собственная масса дается выраяшнием, аналогичным выражению для
собственной энергии. Однако между ними имеется некоторое различие,
которое вызывает значительные затруднения в классической теории
собственной энергии. В классической теории собственная энергия равна
(исключая численный множитель, равный УУ) е2/г0, где г0 — «радиус»
электрона. Таким образом, точечный электрон приводит к бесконечной
собственной энергии.
Если приписать электрону конечный радиус, то взаимодействие электрона с
электромагнитным полем будет содержать форм-фактор,
*) См., например, монографию Гайтлера [376].
§ 1. Собственная энергия фермиона
487
заметно отличающийся от единицы, когда длина волны К/2л близка по
