Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
зарядов, движущихся согласно уравнению движения Лоренца. Характерная
черта этой теории заключается в том, что в ней встречается только
отношение заряда к массе elm, а не заряд е и масса т в отдельности.
Однако в существующей формулировке теории может быть введено только одно
отношение е]т. Дирак считал, что будет найден новый метод квантования
этой теории, в которой будет введена постоянная Планка h и в то же время
будет объяснено, почему электрический заряд всегда кратен заряду
электрона е. Тогда была бы установлена связь с постоянными е и % и том
самым было бы зафиксировано значение постоянной тонкой структуры е2/4яhe.
Во многих других классических теориях стремились ввести радиус электрона
релятивистски инвариантным образом. При этом встречаются трудности,
связанные с необходимостью задать распределение заряда в согласии с
причинностью в смысле теории относительности. Так, рассмотрим поведение
абсолютно жесткого электрона, на который падает пакет электромагнитных
волн. Как только фронт пакета достигнет края распределения заряда, весь
электрон в целом начнет двигаться. Таким образом, импульс будет передан
мгновенно, что противоречит релятивистскому закону причинности. Поэтому
были предприняты попытки ограничить эти нарушения причинности
пространственно-временными интервалами, чтобы не возникало противоречий с
опытом. (В этой связи см. работу Кретьена и Пайерлса [130].)
Были развиты линейные теории с протяженным источником. В классической
теории лучшими среди них являются теории Боппа [73], Пайерлса и Мак-
Мануса [526, 635], а также Фейнмана [248]. Мак-Маиус [526] предположил
существование нелокального взаимодействия вида, о котором говорилось в §
3 гл. 11. Предложенный им лагранжиан взаимодействия
^ %1{x)dix = — ^ ]^{х) F[{x — х'У\ AVi{x')7dixdix (15.19).
соответствует усреднению взаимодействия по пространственно-временной
области. Ядро F релятивистски инвариантно, так как оно зависит только от
инвариантного четырехмерного интервала между точками. На функцию F
налагается требование, чтобы она достаточно быстро убывала, когда квадрат
интервала R2 = (х — х')2 становится большим, так что функция F может
удовлетворять условию
^ F(x*)&x=l, (15.20)
выполнение которого необходимо, чтобы сделать полный заряд конечным и
равным е. Такие функции F можно найти, рассматривая четырехмерные фурье-
образы g(k2) функций F (Л2)
Л(Л2) = \ e~ihdx-x’)g (?2) d^k.
(15.21)
§ 1. Собственная энергия фермиона
491
Одна из подобных функций, которая дает ядро F(R2), удовлетворяющее
поставленным выше требованиям, имеет вид
8 ^ ~ (2я)4 1 + (Wg)2 ’ (15.22)
Таким образом, релятивистски инвариантно введен конечный радиус
электрона. Теория Мак-Мануса, в которой электрон представлен
распределением заряда и в пространстве и во времени, дает конечную
собственную энергию электрона.
Фейнман [248] ввел конечный радиус электрона непосредственно во
взаимодействие между двумя электронами, а не во взаимодействие электрона
с электромагнитным полем, так как его теория сформулирована на языке
действия на расстоянии. Впоследствии было показано, что для определенного
класса функций F теории Мак-Мануса и Фейнмана эквивалентны. Большое
преимущество этих теорий заключается в том, что они могут быть
проквантованы [249] и действительно приводят к конечной собственной
энергии электрона в низшем порядке теории возмущений.
В квантовой теории, однако, существуют вообще другие расходимости,
которые не встречаются в классической теории: обусловленные поляризацией
вакуума расходимости, связанные с процессом образования пары
электромагнитным полем и ее последующей аннигиляции. Чтобы исправить это
положение при помощи нелокальной теории, нужно было бы рассмотреть
лагранжиан взаимодействия вида
— ^ ф (х1) (х") Ац (хт) F (х — х', х — х", х — х'") d*x'Fx" Fx'". (15.23)
Теперь нельзя больше говорить о токе в пространственно-временной точке х,
поскольку выражение для тока зависит от двух аргументов: х и х'. Хотя
полный заряд сохраняется, мы фактически не имеем уже локального уравнения
непрерывности для электрического заряда, так как взаимодействие (15.23)
калибровочно не инвариантно. Кретьен и Пайерлс [131] попытались дать
формулировку нелокальной электродинамики, в которой удовлетворялось бы
требование калибровочной инвариантности. Хотя им и удалось построить
такую теорию, они не сумели устранить в ней расходимости, связанные с
поляризацией вакуума.
Несмотря на то, что попытки получить конечную собственную энергию в
классической теории не оказались особенно успешными в более широких
рамках квантовой теории, все же они подсказали полезные методы для
формального исключения расходимостей из квантованной теории. Часто бывает
удобно, следуя Фейнману [249], вводить обрезание, которое делает
собственную энергию конечной, но зависящей от параметра обрезания X.
Такое обрезание может рассматриваться как частный случай взаимодействия
(15.23), когда появляющийся в обычной локальной теории множитель УгАр (х
