Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
U (?) = (9n9v - g^) П(1) (g2) av (q), (15.1336)
ИЛИ
/Л9)=;?П(1)(М(9). (15.133b)
гДе — ток> создающий внешнее поле a^(q). При выводе формулы
(15.133в) использовано уравнение Максвелла для внешнего поля
3^ (*) = /“ (я), (15.134а)
которое связывает внешнее поле с создающим его током. В импульсном
пространстве уравнение (15.134а) имеет вид
(?u7v - gVv?2) a? (q) = Jl (q)- (15.1346)
Выражение для П(1) может быть получено следующим образом:
гг /\ Г Л4 Sp{Y^ tv-(/> + 9)4-т] yv [y-p + m]} ... ,г .
IV (д) = \ #р ----------------------------------------- (15.13оа)
С ,4 Sp{Y!i(|> + S4-"l)Yv(F+m)}
= \ dz \ аН?--;—г—г-^—;—г,-,-------грг (15.135о)
J J ^ p-l-?Z 2+?2 Z_Z2 _т^ 2 V /
Sp{Yn(# + ^(l — 2) + m)Yv(J> — ftz + m)} .,-,ог .
[p2+?2(z—22)—m2]2 • (13-133B1
При получении (15.135в) из (15.1356) сделана замена переменной р на p —
qz. Так как постоянная т имеет малую отрицательную мнимую часть, то можно
снова повернуть контур интегрирования и интегрировать по р0 вдоль мнимой
оси от — i со до -pi с». Если вычислить след, а затем опустить нечетные
по переменным члены [формула (15.135а)] и использовать соотношение
симметрии (15.1356), то
п„щ) V * s • <».«эд
о
Таким образом, выражение для поляризационного тензора ПД\,(д) квадратично
расходится, поскольку в числитель входит шестая степень переменной
интегрирования (p2d4p), а в знаменатель — только четвертая. Но если
потребовать, чтобы выражение (15.136) было калибровочноинвариантным и
удовлетворяло уравнениям (15.130) и (15.131), то мы получим
{ -?2(г-г2)-1/2р2+т2
3 [jt)2-l-g2(z_z2)_OT2]2 U- Н3- 3 )
Хотя этот интеграл, строго говоря, расходится и поэтому не имеет смысла,
тем не менее мы используем это соотношение1) (вытекающее из физического
требования калибровочной инвариантности), чтобы
!) Несколько более удовлетворительный подход состоит в том, что сначала
«регуляризуют» выражение (15.136) по электронной массе (см. приложение С
статьи Фейнмана [252] и работу Паули и Вилларса [631]).
522 Гл. 15. Квантовая электродинамика
переписать выражение (15.136) в виде
1
IV (q) = — 8 (g^gv — g^q2) ^ dz(z- z2) ^ cPp [p2 + g2(z — z2) — m2]'2
(15.138a)
о
= (9^v-gnvg2)na)(92), (15.1386)
причем
Пш(92)=П(92) = —8 J dz(z-z2) J • (15.138b)
Если разложитьJ) функцию П (q2) по степеням q2
П (q2) = П (0) + j92=o g2 + . . ., (15.139)
то ясно, что член П (0) расходится логарифмически, а все остальные члены
конечны. Действительно, в последовательных членах разложения по g2
показатель степени переменной интегрирования р понижается настолько,
насколько возрастает показатель степени внешней переменной q, что было
показано в конце § 3. Не зависящий от q2 член в разложении функции П
содержит интеграл по р, подынтегральное выражение которого ведет себя,
как (dp /р); поэтому П (0) логарифмически расходится. Следующий член
разложения имеет порядок q2 и содержит уже сходящийся
при больших р интеграл вида ^ dp/р3; следовательно, ГГ и все высшие
члены разложения (15.139) представляются сходящимися интегралами по
переменной р. Теперь можно использовать прием, аналогичный примененному
для получения выражения (15.92), т. е. вычесть из функции П (д2) ее
значение при д2 = 0 и таким образом получить конечный реззтль-тат. Ниже
будет показано, что если применить операцию перенормировки заряда, то
именно этот конечный остаток П(д2) — П(0) будет описывать наблюдаемые
эффекты поляризации вакуума.
Отметим, что разложение (15.139) законно только при д2 < т2. Когда д2 >
(2т)2, внешнее поле может образовывать реальные пары и матричный элемент
М(е) будет иметь как вещественную, так и мнимую части. Мнимая часть
соответствует убыванию во времени амплитуды вероятности рассеяния без
образования реальных пар. С другой стороны, амплитуда вероятности
перехода в конечное состояние, которое включает .те или иные реальные
пары, будет соответственно возрастать во времени. Возрастание и
соответствующее убывание этих матричных элементов таковы, что полная
вероятность перехода из начального состояния равна единице, так как 5-
матрица унитарна (в этой связи см. статью Далитца [150]). Мы ограничимся
случаем д2 < т2, так как он представляет наибольший физический интерес.
Используя метод, который уже применялся нами ранее при кова-риантном
вычислении собственной энергии электрона, можно найти для
поляризационного тензора n^v (см. приложение С к статье Фейнмана
г) Заметим, что функция П (?2) безразмерна, поэтому П' имеет размерность
т~3, П" — размерность тг4 и т. д.
§ S. Поляризация вакуума
523
{252]) следующее выражение: Пцу (д) = 4jt2i (qilqv - gvivg2) X
где д2 = 4пг2 sin2 0. Логарифмически расходящийся член —
член —( —g— J In
соответствует П (0). Так как на внешнее поле наложено условие Лоренца
то, используя выражения (15.138) и (15.140), можно записать матричный
элемент (15.74) в виде
Далее, можно объединить первый член правой части с матричным элементом
(15.67), соответствующим диаграмме а на фиг. 68. Тогда, хотя член
