Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
Изложенные в этой главе правила позволяют написать матричный элемент,
соответствующий любой наперед заданной диаграмме Фейнмана, т. е. дают
возможность вычислить ^-матрицу. Элемент ^-матрицы между заданными
начальным и конечным состояниями |Фа) и |Фь) есть амплитуда вероятности
перехода из начального состояния |Фа) в конечное состояние |ФЬ). Запишем
амплитуду перехода в виде
П' П
Яьа = (2я)*б<« (2 Рь-2 Ра)(^М|а)Г—^57r]n+nViV', (14.111)
b=i а= 1 1 >
где в явном виде записаны 6-функции, соответствующие сохранению
П
полной энергии и полного импульса (2 Ра — сумма 4-импульсов п
а=1
п’
падающих частиц, 2 Рь~ сумма 4-импульсов п образованных частиц),
Ь=1
и нормировочные множители N и N’ падающих и образованных частиц
для фермионов, 1/"|/2и для бозоновJ . Поэтому МЪа=(Ь\М\а)
есть релятивистски инвариантный матричный элемент.
Мы уже изучили в § 1 этой главы рассеяние частицы на не зависящем от
времени внешнем поле. В этом случае импульс не сохраняется,
462
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
и амплитуда перехода имеет вид
Д'ьа= +2ni6w(^pao-^lp’bo)(b\M'\a). (14.112)
В § 1 был намечен способ вывода формулы для эффективного сечения в этом
случае. Поэтому мы не будем рассматривать ниже процессы рассеяния с
участием внешнего поля. Далее, для применений наибольшее значение имеют
столкновения, в которых начальное состояние состоит из двух частиц, и дня
ограничимся этим случаем.
Пусть Q есть совокупность состояний частиц, обладающих импульсами в
интервалах р), p'-f-dp), ..., р)г и р'№+ фп и заданными проекциями спина.
Вероятность рассеяния в конечное состояние, в котором состояние отдельных
частиц принадлежит совокупности Q, дается выра-жением
Вероятность перехода бесконечна, поскольку она содержит в силу
ненормируемости наших векторов состояния множитель 6<4>(0). Чтобы
исправить это положение, следовало бы строить для начальных состояний
волновые пакеты. Вместо этого, следуя Липпману и Швингеру [503], можно
снова интерпретировать множитель 6<4)(0) как (2я)~4П7’, где V — (большой)
объем, а Г — (большой) интервал времени, в котором и в течение которого
имеет место процесс рассеяния. Физический интерес представляет величина
dw' — вероятность перехода в единицу времени и в единичном объеме. Пусть
нормировка начальных одночастичных состояний такова, что их плотность
равна гц (г = 1; 2). Тогда
Эффективное сечение do равно числу переходов в единицу времени и объема,
разделенному на поток падающих частиц и на число частиц мишени в единице
объема. Так как при делении на гц мы нормировали начальные состояния так,
что они содержат одну частицу в единице объема, то поток начальных частиц
будет равен | vt—v2| = n, где \Ti и v2 —скорости начальных частиц, причем
предполагается, что частицы движутся вдоль одной прямой. Поэтому, чтобы
получить эффективное сечение do, надо разделить вероятность перехода dw'
на относительную скорость начальных частиц Jvj —v2j:
Релятивистскую инвариантность эффективного сечения можно сделать явной,
если заметить, что множитель ivi — v2 i можно заменить
инвариантным выражением \{Р\-p-tf — р\р\\ и что d3p/E есть инвариант. В
случае двухчастичной реакции
(14.113)
(14.114)
Pi + Р2-^Р{ + р'2
формулы (14.114) и (14.115) определяют обычное дифференциальное сечение,
если взять в качестве Q совокупность конечных состояний, в которых
импульс одной из конечных частиц р' лежит в заданном
§ 6. Примеры
463
телесном угле dQ. При заданном dQ значения р), р', р1о = Е{ и р2о = Е2
фиксируются законами сохранения энергии и импульса. В системе центра масс
j р' | == | р.^ |, и формула (14.115) приобретает вид
Так как относительная скорость двух частиц в конечном состоянии равна
то эффективное сечение для случая двухчастичных реакций дается формулой
Рассмотрим далее случай распада нестабильной частицы с импульсом к на две
частицы с импульсами р4 и р2 (например, распад я0—> 2у или распад К0 —
>2я). Вероятность распада в единицу времени (величина, обратная времени
жизни) равна полной вероятности перехода в единицу времени:
где интегрирование по допустимым конечным состояниям должно включать и
суммирование по спиновым состояниям дочерних частиц, если они имеют спин.
В системе покоя распадающейся частицы к=(т0, 0) (т0 — масса распадающейся
частицы) и ] pt [ = ) р21, откуда
Если распадающаяся частица бесспиновая, то распад должен быть изотропным,
и поэтому величина | МЬа |2 должна быть сферически симметричной в
импульсном пространстве. Тогда
§ 5. Примеры
1. Комптоновское рассеяние
Мы проиллюстрируем применение формулы (14.114) вычислением эффективного
сечения рассеяния фотона на свободных электронах (комптоновское
рассеяние) в низшем порядке теории возмущений.
В низшем порядке имеются две диаграммы Фейнмана (фиг. 56). На фиг. 56, а
электрон в состоянии р^{ сначала поглощает фотон с импульсом ki и
вектором поляризации е(Н) (к4) и затем испускает второй фотон с импульсом
к2 и поляризацией е(Я2)(к2), переходя в конеч-
