Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
правильном порядке, так как затем нужно просуммировать по их
поляризационным индексам. Применяя установленные выше правила, но
различая теперь операторы для двух частиц (например, у-матрицы) при
помощи индексов а и Ъ, мы получаем следующее выражение для матричного
элемента процесса:
причем подразумевается суммирование по повторяющимся индексам, что
равносильно в данном случае суммированию по поляризациям виртуальных
фотонов. Знак, который мы приписываем импульсам ki, к2 и к3, снова
несуществен, но мы должны быть последовательными при обращении с законом
сохранения импульса: если один конец фотонной линии рассматривается как
испускание фотона, то другой должен рассматриваться как его поглощение.
Техника Фейнмана непосредственно распространяется на взаимодействия вида
G: фГгф-<р:. При этом виртуальному мезону, испущенному или поглощенному в
вершине, соответствует множитель Ст;Г. Функция распространения для
виртуального мезона между двумя вершинами, в которых стоят матрицы тг и
т_,-, дается множителем [i (2л)"4] X X (к2 — р2 + ie)"1. Должно быть
проведено суммирование по индексам г и /. Матрицы т автоматически
учитывают сохранение заряда в каждой вершине. На практике можно также
просто следить за тем, какова
Л = ( )* S d*ki ^ S dik* ^ dipas ^ ^Ра1 S ^РаЪ S ^Рьг Х
X [(2л)4]6 6(4) (ki + Раз — Pal) (Pai + k2 — pa3) 6(4) (pa5 — Pal — ^l) X
X 6<4) (pa2 — Pab — кз) 6<4> (pb2 — Рьз — k2) 6(4) (pb3 + k3 - Ры) X
^у/2Ш5м(ра1) j x
еьУь2 x
e^a (2я)4 X
— iKc ^3 1 1
1
(14.102)
12*1 + г6 7
458
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
нуклонная линия — протонная или нейтронная. Тогда функции распространения
нейтральных и заряженных мезонов i (2я) 4 (А2 — ц2-р ie)-1. Однако при
такой методике следует проявлять особую осторожность при выборе
правильного значения константы связи в я-мезон-нуклон-ных вершинах:
испускание или поглощение заряженного мезона
нуклоном имеет константу связи ]/z G, тогда как испускание или поглощение
нейтрального мезона протоном имеет константу связи + G, а испускание или
поглощение нейтрального мезона нейтроном имеет константу связи — G.
Чтобы получить правила для диаграмм Фейнмана, описывающих взаимодействие
заряженных мезонов с фотонами, напомним, что взаимодействие заряженного
бозонного поля с электромагнитным полем описывается лагранжианом
взаимодействия, плотность которого есть
Xi (х) = — ieN [ср* (х) • Зцср (х) — <9йср* (х) • ф (я)] Ад (х) +
4- e2N [Ай (х) 4м" (х) ф* (х) ф (ж)]. (14.103)
Если, как и в предыдущих случаях, перейти к картине взаимодействия и
ковариантному уравнению Томонага — Швингера, то оказывается, что
плотность гамильтониана взаимодействия, получаемая непосредственным
применением канонического формализма, не удовлетворяет условию
интегрируемости. Канезава и Томонага [420] (см. также статьи Неймана и
Фарри [910] и Кинощита [444, 445]) показали, что правильное ковариант-нос
обобщение плотности гамильтониана взаимодействия дается выражением
geI (х; a) = N( + ie [ф* (х) ? (х) — д^* (х) • ф (я)] А* (х) —
— е2ф* (х) ф (х) [А(х) Ад (х) — (п^ {х) Ад (х))2]) =
- 4 i(x) rJi 'I (г: о), (14.104)
где /ф— нормаль к пространственно-подобной поверхности о в точке х.
Отметим, что эта плотность гамильтониана явно зависит от поверхности, так
как зависит от нормали /ф(х)- Она сводится к обычной плотности
гамильтониана взаимодействия в случае плоской поверхности t — const, т.
е. когда /ф=( 1, 0, 0, 0). Зависимость плотности гамильтониана g-Ci (х;
о) от пространственно-временной поверхности присуща всем связям с
производными.
Затем можно было бы построить ^-матрицу в соответствии с правилами,
изложенными в гл. 13, используя для Stfi выражение (14.104). Мэтыоз [539]
показал, однако, что в этой теории при вычислении ^-матрицы все
зависящие от нормали Пц выражения всегда взаимно
уничтожаются с некоторыми сингулярными выражениями, возникаю-
щими при учете эффектов высших порядков для не зависящей от нормали /гй
части гамильтониана Stfi. На деле оказывается, что правильная методика
сводится к полному игнорированию зависящей от нормали части и в то же
время к использованию простых правил, развитых выше для описания эффектов
взаимодействия. Таким образом, следует использовать плотность
гамильтониана 4)
Ш'е (х) = + ieN [ф* (х) - (х) — <Vp* (х) • ф (х)] А11 (х) —
— e2N [ф* (х) ф (х) А^ (х) А11 (х)], (14.105)
0 Чтобы теория была калибровочно-инвариантной, в носледнем члене формулы
(14.105) под знаком Лг-произведения должны стоять только операторы
заряженного мезонного поля, т. е. этот член должен быть записан в виде —
е2А 11(х)А й(а:) 1У(ф*(х)ф(х)) — Прим. ред.
§ 3. Диаграммы Фейнмана в импульсном пространстве
459
и для спаривания бозонных множителей, содержащих производные, нужно
применить*) следующие выражения:
(ж')= (ф0’ (14.106а)
Оф• (X) <9ф*- (ж') Л() rp f йф (х) <9ф* (хг) he (х — х')
дхр dx'v \ V дх^ dx'v ) 0 ) 2 Охцдх'у
(14.1066)
При помощи этих формул можно непосредственно перенести на данный случай
