Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 200

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 194 195 196 197 198 199 < 200 > 201 202 203 204 205 206 .. 373 >> Следующая

dw' = r20 ^ d3k2 ^ d3p2bw {р2 + к2 — р{ - кх) F. (14.134).
Теперь, интегрируя по d3p2, можно исключить 6-функции, зависящие от
импульсных переменных, после чего
dw
(14Л35>
где Ef = р2о + к20 — полная энергия системы в конечном состоянии, а ?’; =
Дю + &10 — полная энергия начального состояния. Запишем
d3k2 = (k20fdk2о dQ = (к20)*(^Е^ dQ dEf. (14.136)
Можно теперь проинтегрировать по dEf и устранить последнюю оставшуюся б-
функцию, зависящую от энергии. Таким образом,
dw' = г1~(^Л(^р-Л f dQ. (14.137)
0 Е2 V Щ J \ dEf у Ef=E. V 7
Заметим, что при интегрировании по d3p2 импульсы частиц в конечном
состоянии выражаются через импульсы начальных частиц в соответствии с
законом сохранения импульса. Аналогично, интегрирование по dEf в
соответствии с законом сохранения энергии фиксирует полную-энергию частиц
в конечном состоянии.
Проведем теперь указанные в формуле (14.136) дифференцирования. В
лабораторной системе отсчета, учитывая, что
Ef = со2 + Е2 = coj + Ei = со2 + (р“ + т2)1/2 =
= со2 (t»j — 2(0^2 cos ф + oi2 -р (14.138)
§ 5. Примеры
где ср — угол рассеяния
Iq-ka = co^cos ф, (14.139)
и используя соотношение Комптона
(1 — cos ф) = т (оц — со2), (14.140)
мы получаем
dEj J . w2 — ОД COS ф Е2~\-Ч>2 — ОЦСОЗф
d(i$2 ^-'2 ^2
т4-ш((1 — cos ф) т coj
Е 2 Е2 ы2
(14.141)
Поэтому вероятность перехода, при котором рассеянный фотон излучается в
телесный угол dQ и имеет энергию ш2, дается выражением
dw' * гот2 (-^ J FdQ. (14.142)
Дифференциальное эффективное сечение da определяется как частное от
деления вероятности перехода на падающий поток (с = 1) и на число
рассеивающих частиц в единице объема ( = 1). Поэтому
da = rl(^-~-^) m2F dQ, (14.143)
что и является хорошо известной формулой Клейна — Нишины.
Рассмотрим здесь эффективное сечение только в нерелятивистском пределе,
т. е. когда вц, со2 < т и р1 = р2—(т, 0,0,0). В этом пределе формула
(14.1В0г) сводится к
^нер = ?~2" cos2 © (14.144)
(так как <ot = ю2) и дифференциальное эффективное сечение рассеяния
приобретает вид
daHep = cos2 0dQ, (14.145)
что совпадает с классической формулой Томсона для рассеяния излучения с
малой энергией на статическом заряде. Дифференциальное эффективное
сечение для неполяризованного света получается суммированием по двум
конечным состояниям поляризации фотона и усреднением
по двум начальным. Это суммирование может быть легко проведено1)
!) Напомним, что трехмерные векторы е(1) (к), е<2) (к) и к/[ к | образуют
орто-нормированную систему, соотношение полноты для которой имеет вид
в«> (к) е<» (к) he)2' (к) е<2> (к) + А*«- = 8„, -
где индексы г, 5 = 1,2, 3 обозначают компоненты векторов. Поэтому мы
можем записать
2 e<*>(k)e<*>(k) = 8„- Ay.
x=t
Аналогично легко проверить, что
[eai)(ki)-Ea2)(k2)]3= j 2 Se^(k1)e^(k2)-e^)(k1)e<^(k2)=5
^-1) У, S
rs
где ф—угол между векторами kt и к2, т. е. угол рассеяния.
468
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
и дает следующий результат:
(14.146)
где ф —угол между векторами к4 и к2, т. е. угол рассеяния. Полное
эффективное сечение получается при интегрировании JLno телесному углу dQ
и равно
В гл. 17 мы увидим, что формула томсоновского рассеяния (14.147) Играет
важную роль в понимании перенормировки заряда.
Интересно сравнить рассеяние фотонов на частицах со спином 1/2 и на
частицах со спином 0. Для этого вычислим эффективное сечение рассеяния
фотонов на л-мезонах в низшем порядке теории возмущений. Этому процессу
соответствуют три диаграммы, изображенные на фиг. 57. Матричный элемент S
имеет вид
Член с множителем 2 соответствует диаграмме на фиг. 57,в (в Л'-произ-
ведении :А^ (х) А^{х) ср*ф (х): любой из операторов А может привести к
излучению фотона 2 или поглощению фотона 1). В такой системе отсчета, в
которой начальный л-мезон покоится, pi = 0, и при таком выборе
калибровки, когда оба вектора поляризации е4 и е2 имеют только
пространственные компоненты (так что ры е4 = pt. е2 = 0), отличен от нуля
только член, соответствующий диаграмме на фиг. 57,s. Это есть следствие
выбора такой специфической калибровки, в которой е10 = е20 = 0. Интересно
отметить, что амплитуды, соответствующие каждой из диаграмм на фиг. 57, в
отдельности не являются калибровочно-инвариантными, хотя суммарная
амплитуда инвариантна (это легко проверить, произведя калибровочное
преобразование —?» = е^ + Кк^). Эффектив-
ное сечение дается интегралом
(14.147)
\
Д Vi + fci
Pl У
6
в
а
Фиг. 57.
4я }4^10^20(о1(о2
6(pl A-kl — p2 — k2) X
X 1 {рг + lh -f /4) • е2
“ (Pi-
+ (P‘i X Pi — k2) • s4
(7Й —*г)2 —P-
(2Pl - k2) ? e2 - 2et • e2} . (14.148)
1
da = a2 \ d3k2 [ d3p2V" (Pl + h-p2- k2) . (14.149)
§ 5. Примеры
469
Если теперь в точности так же, как в случае спина, равного 1/2, провести
интегрирование, то в конечном итоге получим
где гл = е2/4яр — классический радиус я-мезона и cos ср ацсог = ki -кг-В
крайне нерелятивистском пределе при вц < |т формула для эффективного
сечения снова сводится к классической:
Таким образом, рассеяние фотона с очень малой энергией на частице со
Предыдущая << 1 .. 194 195 196 197 198 199 < 200 > 201 202 203 204 205 206 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed