Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
(14.116)
v
da (2я)~8
dQ l]il]2vv'
(рд2\МЬа 12N*N'\
(14,117)
(2я)4 &u'(k — pi — p2)
6(4) {k —pi — p2) = 6(1) (m0 — pm — p20) 6(3) (pi + p2), (14.119)
так что
w —
(2я)4 ^ 6(1> (7щ — j/p* + ml — V Pi + ml) \ Mba |
CO
0
464 Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
ное состояние с импульсом jо2 и спиновым индексом s2. Во втором процессе
(фиг. 56, б) акт излучения конечного фотона предшествует акту поглощения
начального фотона. При помощи установленных в § 3 правил легко проверить,
что матричный элемент, соответствующий этим двум диаграммам, имеет вид
Я- = «"' (й + *> - Р. - *.) Й 5?f==- X (ft)
{v ? + ?$0^ V • Ч <* (P.) («?•22а)
= (2я)4 6<4> (р2 + к2 — р1 — кн) (p2s2, к2г21 М \ р^и /сщ,) х
х (2зт)в V’ (14.1226)
где, поскольку это не может привести к недоразумению, мы записали е^Дк^
как е4 и ы (к4) как сщ; в аналогичном смысле исполь-
Ф и г. 56.
зуются обозначения е2, ы2 и Еи Е2. Проследим, как возник в формуле
(14.122) классический радиус электрона г0 = е2/Атпс2. Применение правил §
3 приводит в формуле (14.122а) к численному множителю а/2яг. Если
выразить нормировочный множитель фотона (2 | к |)—1/2 через его энергию
%ск, то в числителе появится дополнительный множитель
ftc,
который вместо с множителем т и константой тонкой связи
а даст г0.
Это объясняет также появление множителя т2 в числителе: одно т возникает
из нормировочного множителя электрона, а другое — при переходе от
постоянной а к радиусу г0. Так как мы приняли систему единиц, в которой й
= с = 1, то энергия фотона ость со = | к [.
Обозначим множитель в фигурных скобках в формуле (14.122а) символом 3JL
Выражение для 501 можно упростить, если учесть, что электрон и фотон
свободны, т. о. что
p\ = pl = m2 (14.123)
и
к\ = к\ = 0, (14.124)
к1-г1 = к2'В2 = 0. (14.125)
Для дальнейшего упрощения результатов выберем систему отсчета, в которой
электрон до столкновения покоится, pt = (т, 0, 0, 0). Выберем также такие
векторы поляризации, которые имеют только пространствен-
§ 5. Примеры
465
ные компоненты; это всегда можно сделать при помощи соответствующим
образом подобранного калибровочного преобразования (см. § 2 гл. 9).
Вследствие такого выбора калибровки
Отметим, наконец, что оператор 501 действует справа на волновую функцию
Дирака, которая является собственной функцией оператора у-p j с
собственным значением т. Из перестановочных правил для у-матриц
Однако в силу равенства (14.126) второй член равен нулю. Аналогично
доказывается, что произведение y-Pi антикоммутирует с произведением у-е2.
При помощи этих результатов можно исключить встречающиеся в'выражении для
501 члены у-р^-{-т. Наконец, с учетом соотношения (14.125) можно записать
Чтобы получить вероятность перехода, мы должны взять квадрат модуля
величины Rba- Пусть нас не интересует проекция спина электрона в конечном
состоянии и мы ограничиваемся случаем, когда начальные электроны не
поляризованы. Тогда нужно просуммировать ( (рг) ЗЛш'1 (pi) |2 по индексу
s2 и усреднить по индексу st, что, как мы видели в гл. 4, сводится к
вычислению некоторого следа. Несколько громоздкие вычисления приводят к
следующему результату:
причем при переходе от равенства (14.130в) к равенству (14.130г)
использован тот факт, что в лабораторной сйстемс pt = (т, 0, 0, 0) и что
0 есть угол между направлениями поляризации падающего и излученного
фотонов. Выражение (14.130г) составляет главную часть формулы Клейна —
Нишины, выведенной в работах Клейна и Нишины [455], Нишины [587] и Тамма
[768] (см. также монографию Гайтлера [376]). Чтобы вычислить эффективное
сечение процесса, нужно знать плотность падающих частиц. Ее можно найти,
рассматривая плотность тока электронно-позитронного поля и вектор
Пойнтинга электромагнитного поля. Среднее значение оператора тока в
начальном состоянии электрона
30 G. Швебер
р1.е1 = р1.е2 = 0.
(14.126)
(14.127)
следует соотношение
{y-Pi) (Ч-El) = - (y-ej) (y-pi)+ 2pi-al.
(14.128)
1
(14.130a)
~ Sp {{y ? p2 + m) 501 {y-Pi-r m) 501'}
(14.1306)
(14.130b)
(14.130r)
466
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
| Ф;) = Ь*г (pi) Фо) запишется в виде
</ц(з)>2= — уе<ф2> № 0*0 Мп ф фг> =
= — е {b*Sl (Pi) Ф0, ф<+) (х) 4V ф(+) (а:) Ь*ч (pt) Ф0) =
= - (2Й)з it (Pl) (Pl) =
6 Р* ' Di,*, (14.131)'
(2я)3 (2я)з
где Di,* - скорость начального электрона. Для плотности заряда в
начальном состоянии отсюда получаем
<6 (*)>*= —j^^wl1{x)wPl(x), (14.132)
так что плотность начальных электронов тр дается выражением
Л1 = (2ЙГ,^- (14.133).
Если принять во внимание, что дираковские спиноры были нормированы не в
единичном объеме, а в инвариантном объеме т/Еi, то можно получить в
точности такой же результат. Можно установить также, что< плотность
падающих фотонов равна 1/(2я)3. Величина \Rba\z/VT является вероятностью
перехода в единицу времени и в единичном объеме для полученной выше
плотности начальных частиц. Чтобы получить вероятность перехода на
единицу плотности начальных частиц, надо раз-
делить \RbaflVT на ^gr-• Тогда dw' в данном случае будет
