Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
455
соответствует процессу четвертого порядка, к которому приводит Л'®: Д1(4)
= e2G2 4Г ^ ^ ^*-r2 J ^ d*x 4 X
X^IjV (ф21ф (Xi)) N (ф4ф (x2)) N (фГфф (x3)) N (фГфф (ж4))}. (14.100)
На фиг. 52 не отмечены направления во времени внутренних фер-мионных
линий. Однако чтобы выписать матричный элемент, мы должны обратить
внимание на последовательность, в которой появляются отдельные процессы
вдоль фермионной линии (эта последовательность не должна обязательно
совпадать с последовательностью во времени). С какого конца диаграммы (по
времени) нужно начинать — это вопрос договоренности. Однако стало обычным
начинать с конечного состояния и затем двигаться вдоль фермионной линии.
Напомним правила, которые мы вывели из предыдущих примеров. В матричный
элемент входят:
, i 1
а) множитель (2я)4 — ДЛЯ каждои внутренней нуклоннои
линии с импульсом р;
i.hc 1 „
о) множитель j2n)i'л-a —р.2л_цГ ДЛЯ каждои внутренней мезоннои линии
с импульсом к;
. ike 1 ., -х
в) множитель — Для кажД°и внутренней фотонной
линии с импульсом к, соединяющей вершины, в которых действуют матрицы уя
и yv;
г) множитель -4-еуя для испускания или поглощения в вершине виртуального
фотона (внутренней фотонной линии) фермионом с зарядом е;
д) множитель GF для испускания или поглощения в вершине виртуального
мезона;
(ftc)1/2 1
е) множитель (к) -—V/-------------77=- для каждой внешней фотон-
(2я) 1 - у 2 | /cq |
ной линии, излучаемой или поглощаемой в вершине, в которой действует
матрица уЯ; eWp, (к) есть 4-вектор поляризации (e^ = —1) испущенного или
поглощенного фотона с энергией-импульсом к и состоянием поляризации к
(k0=|k|; заметим также, что кцб^я (к) = 0);
ж) множитель —для каждого внешнего мезона с энер-
(2я) у 2шк
гией = (к2 -f- Ц2)1/2, который испускается или поглощается нуклоном в
вершине, в которой имеется множитель GF;
з) множитель —~ л/_М- isf (р) для каждой внешней нуклонной ' (2яV Е(р) V
'
линии с импульсом р и спиновым индексом s, выходящей из диаграммы; 1
/ IT
и) множитель ---------1/ ws (р) для каждои внешней нуклоннои
(2я) h * L (Р)
линии с импульсом р и спиновым индексом s, входящей в диаграмму;
к) множитель (2я)4б<4) (р — р' i к) для каждой вершины, соответствующий
сохранению энергии и импульса для всех линий, соединяющихся в данной
вершине; р и р' — импульсы фермионных линий, к — импульс внутренней или
внешней линии фотона или мезона, кончающихся в этой вершине;
л) множитель (— 1) для каждой замкнутой фермионной петли;
456
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
м) множитель ( — i/%c)n, соответствующий члену п-го порядка в разложении
в ряд теории возмущений;
И, наконец, нужно проинтегрировать по импульсам всех внутренних линий.
Пользуясь этими правилами, можно сразу записать матричный элемент,
соответствующий диаграмме на фиг. 52. Он имеет вид
^ dikm § dl?3 § dipi § {Pi — p3 — km)x
X 6Ш(рь — рз- ki) б(4) (p5 — pj. - кт) bw (р2 -ръ + к2) ( ~~
V2
X
X да52 (Рг'
X
(Дс)1^2
(2л)3/2 (2 | k2 I)1/2 1 (Пс)1^
(>?2)
1
(2л)4 у-р5 — М-\- ге
G Г
(2л)4
X
и (^l) /1_ \ ^
у-д4— M+ie (2rt)3/2 (2 I к4\)^ ^ ^ ‘Ч2я)4 у-р3—M+ie
X
^,„1 / М XV2
Х (2л)3^2 С ^ (Pi) ) (Pl) (2Я)4 ^-p2 + i
(14.101)
При записи этого матричного элемента мы двигались вдоль нуклонной линии,
выписывая для каждого встречающегося процесса соответствующие
ему множители. Отметим, что испущенный в точке d фотон имеет импульс —к2.
Действительно, оператор испускания фотона содержит экспоненциальный
множитель exp (ik2-x), и интегрирование по соответствующей переменной х
приводит к члену —к2 в аргументе б-функции. Это согласуется с интуитивным
представлением, что для получения конечного импульса нуклона р2 следует
вычесть из импульса ръ импульс фотона к2. Аналогично, поглощенный в точке
b фотон имеет импульс -f-kt [оператор поглощения содержит множитель exp
(—ikt • х)\. Знак импульса кт несуществен, но его следует последовательно
использовать в б-функциях.
§ 3. Диаграммы Фейнмана в импульсном пространстве
457
Если предположить, что мезон испускается в точке а, то его импульс в этой
вершине будет -\-кт, так что р3 + кт = рt. Тогда в точке с он должен
поглотиться, и поэтому р4 + кт — рь.
В нашем примере ясно, что благодаря наличию 6-функций можно провести три
интегрирования по внутренним импульсам. Тогда остающаяся 6-функция снова
будет выражать сохранение полной энергии и импульса для внешних линий.
Рассмотрим далее случай двух нетождественных положительно заряженных
фермионов, взаимодействующих через электромагнитное поле, как это
показано на фиг. 53. При записи матричного элемента, соответствующего
этой диаграмме, мы опять будем двигаться вдоль каждой фермионной линии от
конечного состояния к начальному. Совершенно не существенно, с какой
частицы мы начнем, так как относящиеся к различным частицам операторы
коммутируют. Имеет значение, однако, то, что фотонные линии с импульсами
к2 и к3 пересекаются друг с другом. Это означает, что мы должны
внимательно отнестись к расположению вершинных операторов еу^ в
