Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
^<2>=С ~ тф)2 it \ d‘ixi 5diхгГ ^N ^ ^N ^ ^Ys^ х
X Т (ц(хх)ц(х2)). (14.83)
Мы отдельно записали Г-произведения для нуклонных и мезонных операторов,
что можно сделать, так как они коммутируют друг с другом. Ранее было
показано, что спаривание ф'(а;)у5ф’(а;) равно нулю. Поэтому разложение Г-
произведений фермионных операторов фактически совпадает с разложением
(14.2). Таким образом, нужно рассмотреть только мезон-ные операторы.
Используя теорему Вика, получаем
Г (ф (Zi) ф (я2)) = N (ф (Zi) ф (х2)) + ~ ЬсАр (xt — х2). (14.84)
Будем представлять спаривание бозонных множителей фДяОфДяг) пунктирной
линией, соединяющей точки хj н х2, оператор рождения мезона ф(—> (х) —
пунктирной линией, выходящей из точки хх и направленной вверх, а оператор
уничтожения мезона ф(+> (х) — пунктирной линией, направленной к точке х,.
Тогда диаграммы на фиг. 40 — 47 будут представлять матричные элементы ^-
матрицы во втором порядке теории возмущений. Рассмотрим конкретные
диаграммы и соответствующие им члены.
1. N (фффф) N (фф). Эти члены равны (.S't1))2 и не приводят к реальным
процессам, поскольку энергия и импульс не сохраняются.
2. N (фффф) ф'ф'. Эти члены соответствуют обмену бозоном между двумя
фермионами и приводят к рассеянию нуклона на нуклоне, аналогичному
меллеровскому рассеянию. Для взаимодействия тождественных частиц, кроме
двух диаграмм на фиг. 40, следует взять еще две диаграммы, в которых
переставлены точки х1 и х2- Это относится к каждой диаграмме
446
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
а
Фиг. 41.
рассматриваемой в этом параграфе, исключая диаграмму на фиг. 46,
соответствующую флуктуациям вакуума. Если сложить матричные элементы,
соответствующие этим топологически совпадающим диаграммам, то
* I
Рассеяние мезона на нуклоне
Рассеяние мезона на антинуклоне
Ф и г. 42.
сократится множитель Уг\, связанный с разложением в ряд теории
возмущений. При вычислении матричного элемента между начальным и конечным
состояниями обменное рассеяние будет учтено автоматически.
Во втором порядке теории возмущений рассеянию антинуклона на нуклоне
соответствуют две диаграммы на фиг. 41. Вторая диаграмма (фиг. 41, б)
возникает вследствие возможности аннигиляции двух частиц
§ 2. Диаграммы Фейнмана для взаимодействующих полей
447
Аннигиляция лары ну ил он-антинуклон на два мезона
Образование нуклонной пары при столкновении двух мезонов
Фиг. 43.
I
друг на друге о испусканием виртуального бозона, который рождает затем
частицы в конечном состоянии.
Процессы, которые мы только что обсудили, соответствуют наличию в
начальном и конечном состояниях двух фермионов.
а 5
Фиг. 44.
Ф и г. 45.
3. N (фйГ+ф)Лг(фф). Матричный элемент содержит также ряд
членов, отвечающих различным процессам с одним бозоном и одним фермио-ном
в начальном и конечном состояниях. Соответствующие этим процессам
диаграммы а и б показаны на фиг. 42. ЧленМ (фЙГ +1):)^ (фф) приводит,
кроме того, к процессам, диаграммы а и б для которых изображены на фиг.
43.
4. N (фЙГ+ф) ф'ф'. Этот член описывает безмезонные процессы с участием
одного фермиона и приводит к диаграммам собственной энергии фермионов
(фиг. 44). Он будет подробно рассмотрен позже.
5. N (фф) К+К+. Этот член относится к случаю, когда в начальном и
конечном состояниях имеется один мезон и нет нуклонов Он описывает
собственную энергию мезона, представляемую диаграммой на фиг. 45.
6. Наконец, имеется член К+К+ Ау.-, диаграмма Фейнмана для которого дана
иа фиг. 46. Эта диаграмма соответствует флуктуациям вакуума.
Может быть, следует еще раз подчеркнуть, что хронологическая
последовательность промежуточных состояний не существенна. Так, диаграмма
на фиг. 47 есть частный случай диаграммы фиг. 44, а, когда х10 < хго.
Другими словами, можно как угодно деформировать диаграмму Фейнмана,
заботясь только о том, чтобы сохранялось правильное направление внешних
линий, относящихся к начальному и конечному состояниям.
448
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
На фиг. 48 приведены примеры вакуумных процессов. Эти вакуумные диаграммы
снова можно не рассматривать.
Доказательство: Полный вклад от всех вакуумных процессов дается матричным
элементом (Ф0 J S | Ф0) = Му В матричный элемент Му вносят вклад те
диаграммы, которые не имеют внешних линий. В общем случае вакуумная
диаграмма состоит из нескольких не связанных между собой кусков.
Обозначим через 1\, Г2, Г3, ... элементарные связные вакуумные диаграммы,
т. е. такие диаграммы, которые можно обойти, двигаясь только по
внутренним линиям. Тогда наиболее общая диаграмма вакуумных флуктуаций
будет образована из ni диаграмм типа Г1; п2 диаграмм типа Г2 и т. д.
Вклад в Му от диаграммы Г = -\-пгТ2 + . . . будет
равен
(ф01 IФ0) = (Ф01 SFl1 Фо)"1 (Фо | *Уг,1 Фо)"2 ... , (14.85)
где (Ф0 J 5Г1 | (Фо) —матричный элемент, соответствующий диаграмме rt.
Тот факт, что вклады от диаграмм 1\ . . ., Гп просто перемножаются,
(Гх)
(Г2) (Г3)
Фиг. 48.
следует из несвязности рассматриваемой диаграммы. Если диаграмма содержит
