Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
развитые ранее графические методы. Так, член первого порядка по е в e%?j
(х) приводит к диаграмме, содержащей две мезонные и одну фотонную линии в
каждой вершине, как показано на фиг. 54, а (теперь
мезонная линия должна быть направленной, чтобы указать знак заряда!);
член гамильтониана взаимодействия : ф* (х) ф {х) (ж) (х): приводит
к одновременному испусканию или поглощению в вершине двух фотонов, как
показано на фиг. 54, б.
Правила для записи матричного элемента, соответствующего диаграмме я-го
порядка (диаграмме, содержащей п вершин), снова можно получить, применяя
теорему Вика к разложению iS-матрнцы для гамильтониана (14.105). (В
работе Рорлиха [667] этот анализ подробно проведен.) Отмстим, однако, что
в рассматриваемом случае элемент 5’-мат-рицы п-го порядка содержит члены
всех порядков между еп и е2п. И импульсном пространстве надо применять
следующие правила.
В матричном элементе имеются множители:
а) + е (Рц-'г Р'&) Для каждой одиночной вершины; ^и р'ц — импульсы
входящей в вершину и выходящей из вершины мезонных линий соответственно;
б) (2л)4б№ (р — р'± к) для каждой одиночной вершины; р и р' — импульсы
мезонных линий, а /с —импульс внутренней или внешней фотонной линии,
кончающейся в этой вершине (знак плюс или минус зависит от того,
испускается фотон или поглощается);
в) e*(2nrg^(p-p' + к + к') для каждой двойной вершины (вершины, в которой
испускаются или поглощаются две фотонные линии с поляризациями их);
каждый испущенный или поглощенный в двойной вершине фотон представляется
соответствующим ему множителем (см. ниже правила «г» и «е»);
х) Согласно этим правилам, опускаются сингулярные выражения, возникающие
при дифференцировании сингулярных функций [539, 667].
460
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
v i%c 1 „ „ Y
г) —(2я)4 ,3’ЛЯ кажД0И внутренней фотонной линии с им-
пульсом к, соединяющей вершины, в которых имеются множители (р+р')11 и (p
+ p')v в случае одиночных вершин, или множители gae и gva в случае
двойных вершин (индексы q и а относятся ко второму фотону, испущенному
или поглощенному в двойной вершине), или множители (р-{-р')ц и gVQ в
смешанном случае;
, i%c 1 „ 4
д) -p--j4- р2_ри^1е Для каждой внутренней мезонной линии с импульсом р\
е) /-
(2я)^5ГкТ(к) для кажД°й внешней фотонной линии, которая испущена или
поглощена в одиночной или двойной вершине;
е^(к) есть 4-вектор поляризации (еде^ = — 1, kyjeP (к) = 0) для
испущенного или поглощенного фотона с энергией /с0 = |к|, импульсом к и
состоянием поляризации X;
ж) |/ ^ля каждоЙ внежней мезонной линии с импульсом к
и энергией сок = (к2 Д-р2)1/2, входящей в диаграмму и выходящей из
нее;
з) ( — i/tic)n из разложения в ряд теории возмущений;
и) наконец, полученное произведение нужно проинтегрировать по всем
внутренним импульсам и умножить интеграл на весовой множитель ay = 2g,
причем g = d — b, где d — это число двойных вершин в диаграмме, а Ъ —
число пар двойных вершин, соединенных двумя фотонными линиями.
Использование символа нормального произведения в выражении (14.105) для
приводит к тому, что по теореме Вика следует опу-
скать те диаграммы Фейнмана, в которых две фотонные линии, выходящие из
одной вершины, вновь соединяются, не участвуя в каком-либо
взаимодействии. Так, не должны рассматриваться диаграммы, подобные
показанным на фиг. 551).
Аналогичная изложенной выше ситуация возникает в любой теории со связью с
производными, например в случае псевдоскалярной мезонной теории с
псевдоскалярной связью, в которой
= : Ф (х) "У^Ф (я) <ЭцФ (х):. (14.107)
Канонически сопряженный к полю ср импульс имеет вид
я (х) = 50ф (х)--— '• ф (х) у°У5ф (х)'ч (14.108)
М1
!) В примечании на стр. 458 уже отмечалось, что для соблюдения
калибровое-ной инвариантности в формулу (14.105) вместо члена —e*N
(ффЛ^Л^) на самом деле должен входить член —e^A^A^N (фф), который
приводит к диаграмме, показанной на рис. 55, а. Диаграммы такого типа
необходимо учитывать, иначе физические результаты теории (например,
собственная энергия заряженного мезона) будут зависеть от выбора
калибровки. Заметим также, что в калибровке, в которой А^А*1 = 0,
обсуждае-мые диаграммы вносят равный нулю вклад в матричные элементы, но
функция распространения фотона содержит существенные градиентные добавки
^она пропорцио \.
нальна g^ — i—j^—J.—Прим. ред.
§ 4. Эффективные сечения
461
и плотность гамильтониана взаимодействия не равна уже со знаком минус
плотности лагранжиана взаимодействия, а дается выражением
тА{х\ о) = : -L $ (х) УцУб'Ф (ж) & ф (*) - Y (z))2:, (14.109)
причем оба члена должны быть использованы при вычислении ^-матрицы. Как и
в предыдущем случае, при подробном анализе выясняется,
N
/
4
/
/
/
а
Фиг. 55.
что для получения правильного ответа следует принять для ^-матрицы
разложение
оо
2 (тг)” J ^ ? J . . . ХТ{хп)) (14.110)
n=0
и пренебречь дополнительными сингулярными членами, возникающими при
спаривании операторов dv(p и д^ф, когда р = v = 0.
§ 4. Эффективные сечения
