Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
работу Кестера и Яуха [139]).
Отметим, что при перечислении множителей не упоминался множитель 1/га!,
поскольку мы касались только топологически различных диаграмм. Ясно, что
имеется га! перестановок точек ах, . . . хп между собой, которые не
изменяют топологической структуры диаграммы, т. с. при которых диаграмма
остается такой же, если не считать наименования точек. Последнее
замечание не применимо к диаграммам вакуумный флуктуаций, но, как
отмечалось выше, вакуумные диаграммы не нужно рассматривать.
В проведенном выше анализе но использовался тот факт, что при отсутствии
внешних полей полная энергия н импульс системы полей сохраняются при
столкновениях. Поэтому следует ожидать значительных упрощений при
переходе к импульсному пространству.
§ 3. Диаграммы Фейнмана в импульсном пространстве
Для иллюстрации методов, применяемых в импульсном пространстве,
рассмотрим рассеяние двух фермпонов. При помощи установленных в
предыдущем параграфе правил легко записать оператор, соответствующий
диаграмме на фиг. 49. Он дается выражением
S(nx= ^ ^ ^х‘1 х
X N ^ф(+) (ах) Гф<+) (ах) Aj? (ах — х2) ф(+> (х2) Гф<+> (а^) ) .
(14.88)
Отметим снова, что в равенстве (14.88) нет множителя 1/2!, поскольку
имеется 2! диаграммы указанного типа, а именно диаграмма на фиг. 49 и
такая же диаграмма с переставленными точками ад и х2. Чтобы получить
амплитуду вероятности для этого процесса, мы должны взять матричный
элемент от оператора S^}N между начальным и конечным
$ 3. Диаграммы Фейнмана в импульсном пространстве
451
СОСТОЯНИЯМИ |Ф;} И |Ф/>. Пусть этими состояниями будут
I Ф4> = fe?, (Pi) fer, (qi) [ Фо) (14.89a)
и *
1 Ф/> = (q2) I Ф0>, (14.896)
где piSi, и p2s2, q2r2 — импульсы и спиновые индексы нуклонов
до и после столкновения соответственно. На основании анализа, аналогично
проведенному в § 1 [равенства (14.7) — (14.12)], можно считать,
t ‘
что множитель ф<+) (ад) Гф<+> (ад) уничтожает частицу, характеризуемую
переменными pjSj с волновой функцией aJSl(pt), и рождает частицу p2i-2
f '
с волновой функцией wSo- (р2). Оператор ф(+) (ад) Гф<+) (х2) дает то же
самое для частиц, характеризующихся переменными qг. Кроме того, оператор
Sl2) приводит также к матричному элементу для обменного рассеяния, в
котором волновые функции двух частиц в конечном состоянии переставлены.
Точная структура обоих этих членов получается при вычислении матричного
элемента
(Ф/, N (ф(+)Гф(+) (ад) •ф(+)Г‘ф<+> (х2)) Ф;).
С другой стороны, в выражении (14.88) можно сразу же заменить
t ‘
операторы ф<+) (х) и ф<+) (х) волновыми функциями тех свободных частиц,
которые они рождают или уничтожают:
Ф*+) ы —> (Pz) eip-• *1 )'/3 (!4.90а)
II
п,<+’ ы ^ (2if*wS1 (Pi) e~ipi"vi C^k))1,a ’ (1/к90б)
где р\ = р\ = М2 и poi = Е (рг) = (р? + М2)1'"-.
Матричный элемент для нообменного рассеяния тогда приобретает вид
(множители к и с включены)
п= ]diXi 5 d*x* Sd4c х
/ Л/4
\Е (Pi) Й’ (Ра) Е (q4) Е (q2)) ь Х
Х ГшП (р1^] №2 (Чг) (4i)] - (14.91)
Матричный элемент для обменного рассеяния /?ех получается перестановкой в
матричном элементе — R волновых функций двух частиц в конечном состоянии:
- (—Й-)2ас(25)4(2ЙГ. ^ \ ^кХ
/ Д/4 -ч I/,
X I -т ) “ e4'32-Pi)-^ie1(P2-gi)--x2e-ift,(x2-.-Ci) у
х ^.Л’(Р1)Ь’(Р2)^(Ч1)^(Ч2)У X
х (Чг) Гш*1 (р±)] (р2) Гшг1 (qt)J. (14.92)
29*-
452
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
Проводя указанные интегрирования по переменным и х2, мы получаем для
матричного элемента R следующее выражение:
Жс\ 'т<4) (Л-fi tk) 6<4> (92 - ?1 - Л) X
X [да*2 (р2) Гда81 (р±)] [даГ2 (q2) ГдаГ1 (qt)J X
х (-----------—--------V72-------------------------- (14 93)
V?(Pi)?(p2)?(qi)?(q 2)J к*-р*+1е-
Мы намеренно оставляем матричный элемент в виде (14.93), в котором его
можно легко интерпретировать. Мы можем представать себе (фиг. 50), что
падающий нуклон с импульсом р( и спиновым индексом st [волновая функция
aySl (pi)] испускает (множитель GF) бозон с импульсом к
и переходит в конечное состояние с импульсом р2 и спиновым индексом s2
[волновая функция wS2(р2)].
Дельта-функция (2л)4 64 (р2 — Pt + /с), возникающая при интегрировании по
переменной' хи говорит о сохранении энергии и импульса в акте излучения.
При этом нуклон переходит в состояние с импульсом рг = pi — к.
Аналогично, второй нуклон с импульсом q( [волновая функция да'1 (q4)]
поглощает (множитель 6Т) испущенный первым нуклоном квант и переходит в
конечное состояние [волновая функция даГ2^г)]- Наличие дельта-функции
(2я)4 6(4) (q2 — qi — к) указывает на сохранение энергии и импульса в
этом процессе1). Функция распространения для бозонов
ihc 1
°сть (2я)4р^|д,2-|-?е » и НУЖН0 проинтегрировать по всем виртуальным
кван-
там, т. е. по внутренним линиям. Величина (—(w-.—r-jr-,—гттт—птт—Л Л F
\(2я)3/*/ \Е (Pl) b (р2) Е {q{) Е (q2) J
есть произведение нормировочных множителей для волновых функций
нуклонов. Наконец, все выражение умножается- на множитель (— i/hc)2.
возникающий при разложении в ряд теории возмущений.
