Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
различными собственными значениями.
Мы проиллюстрируем следствия соотношения [S, U\ =0 в дискретном случае
путем вывода некоторых правил отбора для распада позитрония из
инвариантности квантовой электродинамики относительно операции зарядового
сопряжения. При этом следует помнить, что собственными состояниями
оператора Uc могут быть только состояния с нулевым зарядом (так как UCQ =
—QUC). Поэтому из требования инвариантности относительно зарядового
сопряжения можно вывести правила отбора только, для нейтральных систем.
Инвариантность квантовой электродинамики относительно унитарного
преобразования Uc, при котором
USU'l = S,
(14.187>
[U, S] = o.
(14.188).
UcAii (ж) Uc — ЦаИц (я),
Псф(х) Gc1 = r]tip (х)С, UcT\>(x) Uс1 —— —(ж),
(14.189а).
(14.1896)
(14.189в>
(14.189г)
Ст= - С; C-VC= -у*т\ С* — С'1
х) Напомним, что при выборе U2=-]-1 (а, скажем, не ег&) подразумевается
определенный выбор фаз для спинорных операторов.
§ 6. Принципы симметрии и S-матрица
477
следует из возможности такого выбора фаз ца и г)ф, что уравнения поля,
перестановочные соотношения для операторов и гамильтониан инвариантны
относительно преобразования Uс \ eftti =? UiUё1. Из инвариантности
перестановочных соотношений вытекает | % j2 = | т]А |2 = -f 1. Выбор фазы
т|А=-1 (14.190)
гарантирует инвариантность гамильтониана
ekh {х) = — е : ф (х) у^ф(г): А» (х) = /й (х) А» (х)
относительно преобразования Uc. [Напомним, что Uc]\i (х) t/ё1 = — (г).]
Далее можно выбрать фазу оператора Uc так, чтобы ?/с|Ф0) = 0.
Рассмотрим систему, состоящую из электрона и позитрона и описываемую
вектором состояния
1Ф> = 2 ^ d3p ^ ^3^(ps; й*(р)^* (q) j Ф°>, (14.191)
U s
где х соответствует (в нерелятивистском пределе) волновой функции системы
в импульсном пространстве. При преобразовании Uc состояние ! Ф) переходит
в
и с | Ф) = 2 \d3p\ d*W (Р5’ чО d* (р) ъГ (ч) I ф0> =
i,s
= — 2 \d3p\d3qi (ps; q^b* (q)d* i ф°> =
t, s
= ~2 5 5 ^ (qp. ps)b:(p)d?(q)|®0>. (14.192)
t, s
Таким образом, если функция х симметрична относительно перестановки
электрона и позитрона, то | Ф) будет собственной функцией оператора Uc -с
собственным значением — 1, а если функция х антисимметрична, то I Ф)
будет собственной функцией с собственным значением +1.
Легко проверить, что состояние системы из п фотонов 1, 2
1 фд) = 2 ^d3fCi" ? I d*kn<f ^kii,ll, ? ? ? kn^а^ ^ ? ? ? а*'п ^ ^ Ф°^
(14.193)
является собственным состоянием оператора Uc с собственным значением ( —
1)п. Из соотношения [A, Uс\ — 0 следует, что амплитуда перехода (Фп [ S |
Ф) = (фп ( U'^SUc [ Ф) отлична от нуля только тогда, когда
^соответствующее зарядовому сопряжению квантовое число имеет одно и то же
значение для начального и конечного состояний. Для ^-состояния функция х
антисимметрична относительно перестановки электрона и позитрона, так что
в этом случае | Ф) есть собственное состояние оператора зарядового
сопряжения с собственным значением +1. Поэтому такое состояние
электронно-позитронной системы может аннигилировать только на четное
число фотонов 2, 4, ... (конечно, вероятность распада на 4 фотона в а2
раз меньше вероятности распада на
2 фотона). Аналогично, поскольку волновая функция 3А-состояния
симметрична относительно перестановки частиц, то электронно-позитронная
система в этом состоянии может распадаться только на нечетное число
фотонов.
478
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
Если теория, описывающая взаимодействие мезонов и нуклонов между собой и
с электромагнитным полем, инвариантна относительно зарядового сопряжения,
то, поскольку я°-поле при зарядовом сопряжении переходит само в себя,
Uc^PUc1 = Г)яоЯ° (т]ло = 1 и фаза Г)яо вещественна), из факта распада я°-
мезона на два у-кванта следует, что Т)яо = 1.
Доказательство: Так как конечное состояние системы двух фотонов имеет
зарядовую четность, равную +1, то и начальное состояние (л°-мезон) должно
иметь ту же зарядовую четность. (Диаграмма Фейнмана, соответствующая
этому распаду, показана на фиг. 62.) К тому же отметим, что приписание
я°-мезону зарядовой четности г]яо = +1 согласуется также с описанием
взаимодействия между нейтральными псевдоскалярными мезонами и нуклонами
при помощи инвариантной относительно зарядового сопряжения связи типа
Юкава вида з
&€i = 2 : ФУбТгф : Щ.
г=1
Доказательство-. При зарядовом сопря-• женииС/с:'ф'УбТзф: С/с1=:ф'убТзф:.
Поэтому для инвариантности третьего слагаемого, необходимо, чтобы
зарядовая четность т]яо была равна -4-1.
Другое следствие инвариантности теории относительно операции зарядового
сопряжения заключается в том, что амплитуда перехода между состояниями
|а) и | Ъ) равна амплитуде перехода между состояниями \a) = Uc\a) и |6) =
С/с|6), где состояния |а) и | Ъ) получаются заменой каждой частицы в
состояниях |а) и | Ъ) соответствующей античастицей.
Доказательство: Так как оператор Uc унитарный и предположено, что [?, Uс\
— 0, то
(Ъ | S | а) = (Ь | U*CUCSU*CUC | а) = <6 | S \ а). (14.194)
Из инвариантности относительно зарядового сопряжения следует-также, что
