Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
собственных значений между М и М + ц. Наличие таких собственных значений
отвечало бы связанным состояниям мезона и нуклона.
Рассмотрим подробнее вклад в г от однонуклонных состояний (и = 0), для
которых Еп = М. Эти состояния дают полюс в г (z) при z = 0, вычет в
котором пропорционален
2 {Ryk’,s f(s"t") R]k, st (S"t") - (s"t") Rj k’, st (S'T)} =
s'T
= 2 Us", t" I v$ Io+ -
$"t”
-;(7'77^p||77ro++(s", OJ. (12.312)
Ясно, что вычет равен нулю при рассеянии вперед без перезарядки, т. е.
при (/'к') = (/к). Помимо известной зависимости от к, матричный элемент
оператора Р)к между физическими однонуклояными состояниями пропорционален
+{s', t’ \ otXj \ s, t)+. Далее, из трансформационных свойств
382
Гл. 12. Простые модели в теории поля
состояний | s, t)+ и операторов сгг, тj относительно вращений в обычном и
изотопическом пространстве следует
т. е. что отношение матричного элемента от о;тj между физическими
однонуклонными состояниями к матричному элементу от между
«голыми» состояниями с теми же квантовыми числами равно постоянной Z, не
зависящей от s't' и st. Для доказательства используются соотношения
коммутации аи г j с полным моментом количества движения и изотопическим
спином. Из перестановочных соотношений для J4 и а* находим (см.,
например, [617])
здесь 11/2, s)' — собственная функция J2 (при / = V2) и i3 (J3 — s).
Обозначение +(1/2, f j| J-GTj |j 1/2, t)+ указывает, что этот матричный
элемент не зависит от значения /3 для однонуклонного состояния | s, t)+.
Поскольку тj по отношению к полному изотопическому спину обладает такими
же свойствами, как и Gj по отношению к J, то получаем
где 11/2, ?)+ — собственное состояние Т2 (причем Т —1/2) и Г3 (T3 = t), а
обозначение +(1/2, 1/2 J| J - стТ - -г |[ 1/2, 1/2)+ отмечает тот факт,
что этот матричный элемент не зависит от s', t', s и t. Ясно, что
подобное выражение можно написать и для матричного элемента от сг/гг
между «голыми» состояниями и, кроме того
где индекс (0) у /)0> и Tf указывает, что эти операторы соответствуют
системе из мезона и нуклона, не взаимодействующих между собой.
Следовательно,
Из вывода следует, что правая часть не зависит от s, t и s’, t'. Это
отношение не равно единице, что отражает наличие мезонного облака,
окружающего физический нуклон. Влияние мезонного облака можно описать,
изменив величину постоянной взаимодействия. Определим перенормированную
константу связи / с помощью соотношения
+(s\ t'lOiTjls, t)+ = Z(s', C|a;Tj|s, t),
(12.313)
t(s', t' | OjXj \ s, _ +<1/2, 1 /2!! J-ffT-т [[ y2, V2)+
(12.315)
{s', ПщОК t) (Ч2, V2II J<0)-<tT«»-T II i/а, v2> '
§ 4. Теория Чу и Лоу
383
так что
RiKsi{s"t”) = {s"t"\Vjk\st), (12.317)
где VJk получается из F)k, если заменить /0 на /:
V* = ii77^a-krJ’ <12'318)
И- у 2шк
a j s, 7) —вектор состояния «голого» нуклона. Таким образом,
функция
rqp (z) полностью определяется в окрестности z = 0
перенормированной
константой связи, и наоборот, ибо
lim z7-qp (z) = 2 {+(s\ t' | Vyl* | s", t")+ +(s", 7" | Vfk | s,
7)+ —
2—> 0 S"t"
- +<s', f | F$* | s', 7">+ +(s', 7" | Fj'k'! s, ?)+} =
= S {(«', t' | FjV | s", 7") (s', t" | Fjk|s, 0-
&"t"
-{s', t' | F*k| s", Г) (s', 7" j Fj'k' | s, 0} =
= {s\ 7' t [F3V, Fjk] 1 s, 7). (12.319)
Согласно равенству (12.318), поведение амплитуды рассеяния при нулевой
энергии полностью определяется перенормированной константой связи /.
Кроме того, оно совпадает с получаемым из борновского приближения,
если в последнем заменить /0 перенормированной константой
связи /. Требование того, чтобы точная амплитуда рассеяния при нулевой
энергии совпадала с таким образом «перенормированной» амплитудой
борновского приближения, можно принять в качестве рецепта для
перенормировки константы связи [482].
Смысл перенормированной константы связи становится яснее, если
рассмотреть среднее значение оператора мезонного поля в однонуклон-ном
состоянии | s, 7)+. Рассчитаем +{s, 71 ср;- (х) ] s, 7)+. Поскольку | s,
7)+ есть собственное состояние Н, очевидно, что
+(s, 71 [77, a;k] I 5, 7)+ = +(.<?, 71 [H, a*k] |s, 7)+ = 0. (12.320)
Из (12.279) и (12.289) вытекает, что
+(s, 7|Ojk|s, 7)+= ++(s, 71 Ffk’ | s, 7)+, (12.321a)
“k
+(s, 7 j a% |.s, 7)+ = -+(s, 71 т^-Fjk 1 s, .7)+ (12.3216)
tok
и, следовательно,
+(s, 7|cp;-(x)|s, 7)+ = —^ [ +{s, 7|ajkeik-x + a*;e-ik'x|s, 7)+
=
J d4ii(k=) *"‘"+Г‘к" ,(»? <>* =
= ^4{s' (12.322)
При | x |, значительно превышающих радиус источника R0, в правую
часть (12.322) будут вносить вклад только малые значения |к|, а для
384
Гл. 12. Простые модели в теории поля
этих значений |к| функция н(к2)^1. Поэтому получаем
где г = |х|. На расстояниях, больших по сравнению с радиусом источника,
мезонный «потенциал» нуклона является потенциалом Юкавы, а его величина
определяется перенормированной константой связи /. Поместим теперь другой
нуклон (обозначим его цифрой 2) в точку х, причем [ х j много больше 7?0,
так что справедливо выражение (12.323). Если присутствие этого нуклона
