Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
просто связан с его значением на энергетической поверхности. Наконец,
замечая, что
нейно и связывает амплитуду мезон-нуклонного рассеяния со всеми другими
амплитудами рассеяния и рождения, которые имеют либо то же самое
начальное состояние, либо то же самое конечное состояние, что и амплитуда
мезон-нуклонного рассеяния. Если и для других амплитуд Rjk< st (п)
вывести аналогичные уравнения, то можно получить замкнутую бесконечную
систему уравнений, которые в некотором смысле (мы уточним его позже),
эквивалентны первоначальной гамильтоновой формулировке. В
действительности такая система уравнений была выведена и проанализирована
Нортоном и Клейном [588, 589] (см. также [289]) для несколько более
простой модели—скалярное поле, взаимодействующее с источниками с помощью
взаимодействия вида
Заметим, что поскольку зависимость RJkt st (/'k', s't') от k и cok
полностью определяется зависимостью Vfk от этих переменных, то она
выпадает из уравнения Лоу. Это получается из-за того, что одна и та же
зависимость появляется в правой и левой частях уравнения (12.300). Кроме
того, хотя для определения амплитуды рассеяния мы будем главным образом
интересоваться решениями при Шк' = шк, нужно отметить, что уравнение Лоу
(12.300) в действительности справедливо и при ®к' Ф Шк-
_(п |/, к; s, ?)+ = 6(и; /к, st) — 2m'6 (Еп — сок—М) Rjk st(n), (12.295)
б (п\ /к, st) — _{n\j, к; s, t)_ = +{n\j, к; s, ?)+? (12.296)
Rjk, st (п) = _(« I К$ I s, *)+•
(12.297)
(12.298)
(12.299)
}. (12.300)
Уравнение (12.300) есть уравнение Лоу для модели Чу. Оно нели-
N
380
Гл. 12. Простые модели в теории поля
Существуют три важных свойства, которыми . обладает уравнение Лоу:
1) унитарность;
2) перекрестная (кроссинг) симметрия;
3) аналитические свойства.
Унитарность 5-матрицы
55* = 5*5 = 1, (12.301)
где
+{п | 5 | /, k; s, t)t = 6(n- /к, st) — 2m6 (Ёп — сок — М) si (п),
(12.302)
означает, что Rjk, st (/ к', s't') удовлетворяет уравнению
Rj'k'.s't- (/к, st)—Rjk,st(j'к', s't') =
= 2ni 2 Ryw, S’t'(n) /?;к, st (n) 6 (En — M — wk), (12.303)
П
где cok = ©k-. (Отметим, кстати, что состояние без мезонов, /г = 0, Е0 =
М, не вносит вклада в правую часть, так как сок Ф 0.) Из уравнения Лоу
(12.300) Следует
Ryu'. s't' (/k, st) — /fit, st (/'k\ s'C) =
^ ГЛЗк, si M Лз'к', s't' («) Л;к, si (") Л3'к', s'i' (П) ) 0 „П/.Ч
Zj t <ok + M ——ie (ок, + Л/-?п + ге J-
Полагая (ok = gv и используя тождество
^7е-=’Р^ + глб(х), (12.305)
можно проверить, что любое решение уравнения Лоу /?3к, st (/'к', s'5)
автоматически ведет к унитарной 5-матрице.
Для анализа дальнейших свойств симметрии амплитуды рассеяния удобно
определить функцию г комплексной переменной z
,„\ __ V Г Лг'к". *'<' ^ Rte, st И , лзк, s'i' (") лз'к', si (") ) //( 0
Qrw^
sib'k', s'i' (z)- 2j{-Z + M-En + M — z — En J ’ (12-306)
причем
lim />,s(b-k,iS.r (z) = /?jk, Sf(/'k', s't'). (12.307)
г-хо^+ге
Заметим, что зависимость г от к и к' известна, не известна лишь
зависимость от z. Из определения г [равенство (12.306)] следует, что
rjk, s'i'|j'k',.si (2) = fj'k', s'f'ljk, si ( — z)- (12.308)
Равенство (12.308) представляет собой математическую формулировку
«кроссинг»-тсорсмы Гелл-Манна и Голдбергера [306]. На языке диаграмм эта
симметрия выражается утверждением, что для любой данной диаграммы
существует другая диаграмма, которая получается из первой перестановкой
линий входящего и уходящего мезона. Точрее, мат-
§ 4. Теория Чу и Лоу
381
ричный элемент для перекрестной диаграммы можно получить из матричного
элемента для неперекрестной диаграммы: а) перестановкой к и к', б)
перестановкой хj и т,-в) изменением знака со в энергетических
знаменателях. Поскольку /?-матрица равна сумме вкладов от всех диаграмм,
она должна остаться неизменной после перечисленных преобразований. Это
очень просто проверить для членов второго порядка, возникающих от
диаграмм фиг. 17. Замечаем также, что
rjk, s'i'lj'k', st (2) = Г jk, s СI j' k', s't' ( 2), (12.309a)
= fj'k'. s(|jk, s't’ (2), (12.3096)
где при получении второй строки мы использовали перекрестную
симметрию. Иногда удобно рассматривать rjk, S(|j'k\ s't' (2)
как матрич-
Ф и г. 17.
ный элемент оператора rpq(z), т. е. (s, 11 rpq (z) j s', <') = />,
s.r(z),
где переменные /к сокращенно обозначены через р, а /'к'—через q.
Соотношение перекрестной симметрии (12.308) тогда можно записать в виде
/•qp(z) = rpq(-z), (12.310)
а условие действительности (12.309) переписывается так:
rqp(Z) = rpq(Z)- (12.311)
Можно вывести дальнейшие свойства функции rjk, Sf|j'k\ s't' (2), если
использовать предположения относительно свойств энергетического спектра
промежуточных состояний, которые входят в определение г [равенство
(12.306)]. Примем, что II имеет изолированное собственное значение при Еп
= М, соответствующее нуклонным состояниям, и непрерывный спектр, начиная
с Е = Мц, М + 2ц, ..., который соответствует состояниям нуклон + один
мезон, нуклон-]-два мезона и т. д. Примем также, что нет изолированных
