Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
p=i
1 -4 -4 16'
1 to -1 со 4
-2 со -1 4
4 2 2
§ 4. Теория Чу и Лоу
3&9
Условие эрмитовости для rqp (z) означает, что ha (z) есть действительная
функция z в том смысле, что
ha (z) = ha (z). (12.350)
Так как неоднородный член в (12.335), т. е. член борновского приближения,
можно записать как
-T-2wp.4>-^
v (р2) V (q2)
где
Jl л2
— 4 для а = 11
— 1 для а = 13
— 1 для а = 31 2 для а = 33_
(12.351)
(12.352)
то уравнение Лоу, выраженное через ha (ю), есть
СО
Я а , 1 ^ Г I ha (шр) I2
ha (ю) ;
0
Шр + СО
С помощью условия унитарности (12.344) его можно переписать в виде
lm ha (со )
ар
I ^
о ~*~4я2
Оа (Шр)
1ш Яр (шр) ~СОр + СО .
Оц (Ир)
_ д. V A 1
ie'-^Л аР (0р-|-ш J jw2 (р2)
(12.354)
(12.355)
Уравнения (12.355) и (12.354) представляют собой в действительности
точные следствия модели Чу и условия унитарности и не зависят от
одномезонного приближения, что будет проверено с помощью равенств
(12.300), (12.303), (12.344) и (12.336). К этому вопросу мы вернемся в
конце параграфа. Уравнение (12.354) эквивалентно тому, что ha(z) обладает
следующими свойствами:
а) все особенности ha (z) расположены на действительной оси;
б) ha (z) имеет простой полюс в начале координат с вычетом Яа;
в) ha (z) имеет точки ветвления при г= + ци определена в плоскости с
разрезами, идущими по действительной оси от г= + ц до + оо;
г) ha (г) ведет себя на бесконечности как 1/z;
Д) ha (z) удовлетворяет соотношениям перекрестной симметрии (12.349).
Чтобы решить уравнение (12.349), Чу и Лоу ввели действительную функцию
*-M = Trsrw’ (12'356)
где ga(0) = l, поскольку ha(z) имеет полюс при z = 0 с вычетом Яа.
Функция ga (z) на бесконечности ведет себя как константа. Функцию ga (z)
удобно ввести потому, что ее скачки на разрезах при г> (х и z< —ц не
зависят от самой функции ga{z)- Например, в области
390
Гл. 12. Простые модели в теории поля
сор > ц, поскольку ha (z) = ha (z),
lim ga (z) — Hm got (z) Г1 _ 1 1
z-»c0p+iE z->Mp—ie “p Lfta(wp + ie) ha((Op-\-ie) J
_ 2ika Imfea(mp + ;e) p 2ipW (p2) [ ha (cop) p •
Г V ) | na {IDp) |* -1
L |ЛаК)1» J =
= -2i^%2( p2). (12.357)
Соотношения перекрестной симметрии для ga суть
2B-sV>=*rb-r <12-358>
Р
где
Ва$=—г—z4ap^p. (12.359)
Ла
Функция ga(z) имеет следующие особенности. Как и ha(z), она
имеет
точки ветвления при z = + ц и определена в плоскости с разрезами,
идущими по действительной оси до + оо. Если ha(z) не имеет нулей, то
других особенностей yga(z) нет. Из уравнения (12.353) следует, что Im ha
(z) = са Im z, где ca — некоторая постоянная. Поэтому если са не равна
случайно нулю, то нули ha (z) могут лежать лишь на действительной оси.
При достаточно малых значениях (//ц)2 функция ha (z) не будет иметь нулей
даже на действительной оси (поскольку тогда преобладает член ka/z), так
что в этом случае граничные условия для ga (z) и природа ее особенностей
предполагают, что для ga (z) существует следующее представление:
ОО
= i (12'360)
где Аа и Ва — весовые функции, определенные при х>ц.
Функция Аа (х) дает скачок ga (z) при переходе действительной оси при
г>ц. Поэтому в силу (12.357)
На(®р) = ^%2(р2). (12.361)
Соотношений перекрестной симметрии как раз достаточно, чтобы определить
вторую весовую функцию Ва(х), которая дает скачок функции ga (z) при
переходе через действительную ось при z < — ц. Следовательно, при
достаточно малых /2/ц2
ha (z) = —----------------------------------------- , (12.362)
Я J со2 (0„-г я J Шр Фр + 2 р
к v а
где р = уго)р — ц2, а функция В', определенная соотношением
^^?a(G>p) = ?a(G>p), (12.363)
должна быть выбрана так, чтобы функция ha (z) удовлетворяла соотношениям
перекрестной симметрии (12.349). (Относительно числецных мето-
§ 4. Теория Чу и Лоу
391
дов решения этой задачи см. [699]-, а также [123].) Равенство (12.362)
дает решение уравнения Лоу в одномезонном приближении. Это решение
является аналитическим продолжением решения теории возмущений по (//р)2.
Кастильехо, Далиц и Дайсон [115] (см. также [450]) показали, что оно не
единственное, а скорее одно из бесконечного числа решений. Другие решения
возникают, если ha (z) имеет произвольное число нулей на действительной
оси, а вычеты функции ga (z) в этих точках положительны. Таким образом,
решение Чу и Лоу отличается от других решений тем, что оно имеет
наименьшее число нулей в амплитуде рассеяния.
Эта неоднозначность решения возникает из-за того, что уравнение Лоу не
выражает всего физического содержания теории [202, 588, 589]. Более
конкретно, неоднозначность вызвана недостатком информации в уравнении Лоу
относительно внутренней структуры системы [348]. Фэрли и Полкингхорн
[227, 228] показали, что для выбора правильного «физического» решения,
которое является единственным, достаточно знать энергетический спектр
невозмущенного гамильтониана. Одному и тому же уравнению Лоу
соответствует бесконечный класс теорий. В частности, решение Чу и Лоу
описывает одну такую теорию, в которой нуклон обладает минимальной
