Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
лишь незначительно возмущает мезонное поле около первого нуклона,
расположенного в начале координат, то энергия второго нуклона в поло
первого приближенно равна среднему значению оператора
в состоянии | ,92, t2)+. Здесь |s2, t2)+ — состояние, в котором находится
нуклон 2, a q2 (х') — функция источника этого нуклона, отличная от нуля
только около точки х. Таким образом,
Эта формула представляет собой приближенное выражение для потенциала
взаимодействия двух нуклонов в адиабатическом пределе.
Вернемся теперь к рассматриваемой задаче — описанию рассеяния мезонов на
нуклонах и, в частности, к свойствам функции rqp(z). При z—> оо функция
rqp (z) ведет себя, как ljz. Это видно из равенства (12.306). Когда z
стремится к бесконечности, зависимостью знаменателя от Еп можно
пренебречь. Используя, далее, для вычисления суммы по состояниям условие
полноты, находим
Из равенства (12.306) видно также, что все особенности г (z) лежат на
действительной оси, поскольку Еп действительны. Состояния |п = 1)_, т. е.
состояния рассеяния одного мезона на нуклоне, имеют в качестве
собственных значений гамильтониана положительные действительные числа от
IK-j-p. до со. Аналогично, состояния |п = 2)_ имеют действительный
энергетический спектр, простирающийся от М-\- 2р до со, и т. д. Таким
образом, функция rqp(z) имеет от вклада одномезонных состояний точку
ветвления при z = [i и определена в плоскости z с разрезом по
действительной оси при Аналогично, от вклада и-мезонных со-
стояний имеется точка ветвления при z — np и разрез, начинающийся от z —
np (re = 2, 3, ...). В силу перекрестной симметрии г имеет также точки
ветвления при z=— /щ. Соответствующие разрезы начинаются при z= — пр (п —
1, 2, 3, ...). Итак, г (z) имеет полюс при z = 0 с вычетом,
пропорциональным /2, ведет себя на бесконечности как 1/z,
2^5 d3x'Qi ) °2'V*' tl I ^ I Sl’ ^
(12.324)
lim zrpq(z)= -+<s\ ^<0>]|s, П
(12.325)
§ 4. Теория Чу и Лоу
385
имеет точки ветвления z = + гср. и определена в плоскости z с разрезами
вдоль действительной оси при z > ц и z < — ц. Других особенностей, помимо
перечисленных, г (z) не имеет. Аналитическая функция, обладающая такими
свойствами, должна иметь следующий общий вид:
+ [4е5г-+-^т\] • <«•»*>
Здесь — вычет rqp (z) в точке z=0, a F (х) и G (ж) — весовые функций,
определенные при ?>|Л. Так как
lim rqp
Z-KV+ie
'y?qp p \ di' Г + -У* l
J L x —% x -\-x J
- 18
M-
lim rqp
? гя0 (x — |i) Aqp (x) — гя0 ( — x — ji) Gqp (x) (12.327a)
(z) = A?aiL + p f dx' Г + I _
V ’ X —78 1 ,) L X —X ' X +Я J
|X
— Ш0 (a: — |i) /’qp (x) + гл0 ( — x — ji) Gqp (a;), (12.3276)
то очевидно, что
2ziFqp(i)= lim rqp(z) — lim rqp(z) (x>p), (12.328a)
z-+x+ie z-+x—ie
2niGqv(x) = lim /-qp(z)— lim rqp (z) (a;<— ja), (12.3286)
z->—x—ie z-*~x+ie
т. o. F~a G выражаются через скачок функции г на разрезах, идущих по
действительной осп, соответственно в правой и левой полуплоскостях.
Вспомним, что амплитуда рассеяния Rq (р) (рассматриваемая как оператор в
спиновом и изотопическом пространстве) определяется как предел rqp(z) при
z=cop4-ie. Поэтому если наложить условие действительности rqp (z) = rpq
(z), то равенство (12.328а) дает
2niFqp (юр) = [7?q (р) Rp (ч)]ир=ич. (12.329а)
Соотношение перекрестной симметрии позволяет аналогично записать
равенство (12.3286):
2яtCqp (со„) = [Rp (q) - 7?* (р)]Шр=и„- (12.3296)
Наконец, с помощью условия унитарности (12.303) и соотношений (12.329а),
(12.3296) можно преобразовать равенство (12.326) в первоначальное
уравнение Лоу (12.300) для случая cop = mq. (Последнее ограничение
несущественно, поскольку с энергетической поверхности можно сместиться
произвольным образом, как это было отмечено ранее.)
Таким образом, если было бы возможно найти матричную функцию rqp(z),
которая имеет простой полюс в начале координат с вычетом ^qp, ведет себя
на бесконечности как 1/z, имеет только точки ветвления и определена в
плоскости z с разрезами на действительной оси при z > ji и z < — ji и
которая удовлетворяет условиям унитарности, пере-25 с. Швебер
Z—±X—1?
|Х
386
Гл. 12. Простые модели в теории поля
крестной симметрии (12.310) и действительности (12.311), то мы имели, бы
решение уравнения Лоу. Однако условие унитарности включает состояния с
двумя и более мезонами и поэтому не может быть записано-только с помощью
rqp(z). Если же пренебречь состояниями с многими мезонами, то
сформулированные выше условия могут служить практической основой для
решения задачи рассеяния. Пренебрежение состояниями с двумя и более
мезонами законно, если сечения неупругих процессов малы по сравнению с
сечениями упругих процессов (при всех значениях энергии). Такое
приближение называется одномезонным. Рассмотрим его подробнее. Уравнение
Лоу в этом приближении принимает-вид
Это — неоднородное нелинейное интегральное уравнение относительно Rib, st
(/'k', s't'). Отметим, что в уравнении (12.330) суммирование идет по всем
состояниям |/"k"; s", t")_, включая состояния с ©к» Ф ©к- Поэтому, как
