Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
j ^ ~ (2я)3 ’ (12.234)
так что х) /? dn 4 > Q (?/) = ( эр v kjdkfdQ ) тп тл W/7 ^9тг\3
kfttifdQ 1Г>тт\3 (12.235)
у И, — Hi j
ибо Е = (о = у"к2 + jr2 .
Таким образом, вычисление сечения сводится к вычислению | Rfi |2.
Несколько проще рассчитать амплитуду (к', s', f'j/?|k, i; s, t),
чем амплитуду
(T, Т3; к', s' \R\T, T3, к, s) = R{T, Г3; к', к; s', s) =
= Д.-в(Г; к', к). (12.236)
Свяжем поэтому RS'S(T, Т3\ к', к) и амплитуды (к', ?'; s't' \ R \ к, ?;
s, t) с помощью операторов проектирования для состояний с определенным
полным изотопическим спином. Конечно, можно было бы и непосредственно
использовать коэффициенты Клебша-Жордана, чтобы преобразовать результаты
из ?, ?-представления в представление, в котором Т и Т3 диагональны.
Поэтому материал, изложенный на нескольких следующих страницах, включен
только для полноты.
Стандартными методами теории преобразований получаем
(к', г'; .s', t' j R | к, /?; s, t) =
2 t'\T, Т3){Т, Г3; к', s'\R\T, Т3; к, s)(T, T3\r, t) =
Т, Та
V
Т, Та
(/•', t'\T, T3)Rs-a{T-, к', к) (Т, T3\r, t):
t'\P(T)\r, t) Rss (T; к', к), (12.237)
!) Для удобства мы взяли единичный нормировочный объем V =i. В против-
w
пом случае сечение, которое связано с w соотношением do-
падающии поток
было бы равно Vw/vi, a dn = V dk/(2n)3, но j Rfi j2 ~ 1/F2, так что V в
конечпое выражение для da не входит.
24 с. Швебер
370
Гл. 12. Простые модели в теории поля
где {г, t'\T, Т3) — коэффициенты Клебша-Жордана, а
Р{Т)=^\Т, Т3){Т, Тъ\ (12.238а)
т3
— оператор проектирования для состояния с полным изотопическим спином Т,
так что
(/•', t'\P{T)\r, f> = 2</-'. t'\T, Т3){Т, T3\r, t). (12.2386)
т3
В дальнейшем будет удобно использовать изоморфизм между (Т и tх/2 т в
подпространстве, соответствующем одному мезону и одному
нуклону. Пространство изотопического спина для системы мезон-
нуклон образовано векторами | г, <), которые можно представить как
прямые произведения трехмерных (мезонных) векторов | г) и
двухком-
понентных спиноров (нуклонных) I ?), на которые действуют операторы
изотопического спина мезона (t) и нуклона (т).
Операторы проектирования для состояний с Т=3/2 и Т=х/2 имеют вид
(12.239)
= (12.240)
причем
Рг(т)+Рг(т) = 1- (12'-241>
Доказательство: Оператор Т2 = (t -j- х/2 т)2 — t2 +1 - т -j- х/4 т2 =
= 2 —t • т —(— 3/4 имеет собственное значение 15/4 для состояния с Т =
3/2 и собственное значение 3Д для состояния с Т = 1/2. Поэтому
t-T= 1 для Т ,
t • т = — 2 для Т — y .
Требуя, чтобы [Рт (Т)]2 = Рт (Т) и чтобы выполнялось равенство (12.241),
легко получить выражения (12.239) и (12.240).
Матричный элемент (r',t'\ Рт(Т)\г, t) можно упростить, если вспомнить,
что
(г’ | tj | г) = — iejr'r. (12.242)
Отсюда, например, следует
у(г', ?' 11 — t • т | г, ?) — — (?' | бгг- + iejr'rT) | ?) =
= У (t' \ brv — Y [tr, Tr-] 11) =
= (?' | -|xr%p\t). (12.243)
Здесь мы использовали перестановочные соотношения^[тГ', тг] — 2г 2
j
и [v, тГ]+ = 26ГГ'. Аналогично,
•i(T', ?' (2 + t-t|r, ?> = -^-(?'1 П-V+ 4 VP [О , (12.244)
§ 4. Теория Чу и Лоу
371
и, следовательно,
{t'\xTxT.\t) = {r, г'|2Рт(|)-Рт(4)1>, О, (12.245а)
<f'|VTr|f) = <r', t'\3PT(~)\r, t). (12.2456)
Обозначим через Ji/2 и j3/a следующие величины:
<7i/2(r'’ r)=y 6г>+у у [v, Тг], (12.246а)
j3/2(r', r) = |-6r.r— ||[v, тг]. (12.2466)
Они являются операторами проектирования [в том смысле, что 2t7r(r',
r")JT,(r", г) = &тт'3т (У г)] Для состояний с изотопическим
г"
спином х/2 и 3/2 в пространстве изотопического спина нуклонов.
Полностью аналогичную процедуру можно применить к состояниям с
определенным моментом количества движения. Поскольку J2 и /3, так же, как
и оператор четности, коммутируют с Н, то начальные и конечные состояния
удобно классифицировать по полному моменту, его третьей компоненте и
четности системы. Так как R и /г коммутируют, амплитуда рассеяния
R {1 > ?У, J1 Jг\ юк) — {Т, ?У, J, Jз, со (ку) | Т? | Т, Т3; /, /3; со
(к*)) =
= R (Т, J; со (к)) = Т?™ («к) (12.247)
не зависит от /3; [со = со (ку) = со (кг) = сок есть энергия мезона].
Поэтому (ТУТУ к', s'\R\T, Тг, к, S) =
— 2 (к', s' j /, J3) (Т1, ТУ /, /3, со (к^) ] R | ТУТУ, J, /3; со (к;))
(/, /31 к, s) = JJ3
= 2 (к\ s' | -Т, -Тз) (У -Тз | к, s) Т? (Г, /; сок) =
JJ 3
= 2<к', s'|/M/)|k, УТТтЛшк), (12.248)
J
где
ТМ-Г) = 2|У Л) (Л /з| (12.249)
— оператор проектирования для состояния с полным моментом J.
Мы уже отмечали, что только мезоны с 1 = 1 взаимодействуют с нуклонами.
Поэтому мы будем интересоваться лишь операторами проектирования Рj (3/2)
и T*j(1/2), поскольку рассеяние происходит только в состояниях с J = 3/2
и J = 1/2. Обозначим через 1 орбитальный момент количества движения
мезона, а через 1/2 сг — спиновый момент нуклона. В мезон-нуклонном
подпространстве оператор J изоморфен 1 + 1/2ст. Следовательно, в полной
аналогии со случаем изотопического спина
^(4) = ^^, (12.250)
Pj (у) = —(12-251)
24*
372
Гл. 12. Простые модели в теории поля
Состояния | к, s) являются прямыми произведениями мезонных состояний |к)
