Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
= |со(к), 0, ф) и нуклонных спиноров |s). Через 0, ф мы обозначили углы,
определяющие направление вектора к. Матричный элемент (со (к'), 0', ф',
(3/2) | ш (к), 0, ф, s) можно вычислить непосредственно.
Если, как и ранее, принять такую нормировку, что
(0 ф | lm) = Ylm (0, ф) (12.252)
У со к
(А: = | к |), то при ю (к') = ю (к), (к = к')
(к', s’lPjf*') | к, s> =---------* (s' ] 2к'-к — г ([к' хк] - а)
| s) (12.253)
1 V2V' 4я/с2//с'соЧсо '
И
<к\ s'\Pjf~ ) | к, х) = ——^== (s'|2k'.k + i([k'xk]-<T)|s). (12.254)
V А / 4яА2 у к т ка>
Используя равенство
(а.к) (<т.к') = к-к' + г([кхк']-<т), (12.255)
находим
(s' | (<т-к) (ст-к') | s) = ук'ш'ка (0', ф', s' | 2Pj - Pj | 0, ф, s)
(12.256а)
И
(s' | (<т-к') (<т-к) | s) = 4як2 ~\/k'(ii'k<o (0', ф', s' | Pj ) | 0, ф,
s). (12.2566)
. 2 .
Введем также операторы
У i/г 0*2! ki) = к2 * ki + г (<?• [k2X ki]), (12.257а)
^з/2 (к2, kt) = 2к2• к4 — г (<т• [к2х kt]), (12.2576)
которые являются операторами проектирования для состояний с / = 1/2 и / =
3/2 в пространстве обычного спина нуклона, в том смысле, что
Л dQkfj (k2, k) (k, k4) = Anbjrfj (k2, kt). (12.257b)
Теперь мы можем вычислить матрицу перехода. Во втором порядке теории
возмущений
Rfi = (к', г'; s', t' | ДМ(2) j к, г; s, t) +
+ (к\ г'; s', V | Ui Hi\K П s, 0, (12.258)
где AM<2) дается равенством (12.208в) и
Hi = 2 + а|кЕ)к*), (12.259a)
;k
n> = i A -7^M=?3 <т.кт;, (12.2596)
И- у 2cok (2я)3
Отметим, что Hj рождает или уничтожает один мезон, а оператор
tf/G0+(?;)#/, где
, (12‘26°)
§ 4. Теория Чу и Лоу
373
должен связывать в (12.258) одномезонное состояние с одномезонным.
Поэтому, если оператор Hi, стоящий справа, рождает мезон, то Hi, стояпщй
слева, должен уничтожить мезон, поскольку оператор G0+(Ei) диагоналей.
Аналогично, если первый из операторов Hi уничтожает мезон, то второй
должен рождать мезон в конечном состоянии. Более конкретно, поскольку
//о • /в aik = aik Ei-Ho + co-^fTe ’ (12.261а)
= (12*261б>
и состояние | k, r\ s, t) есть собственное состояние Н0 с собственным
значением М + (Ок, имеем
Rfi = (к', г'; s', Г|ЛМ‘2> +
г a? VW>*,t7 F(0> п- F(.°) a*: ч
+ 2 j-- Jv’Vq'Wff Д |k (12.262)
(?; — Шк+Шп — M-j-ie bi — шк — (о —v '
q, q', h i’
Так как ?г = а)к + М, то, использовав перестановочные соотношения
[ajk, a|'k-] = 6jj'6l3) (k — k') и равенство
aiq|k, r\ s, t) = ajqa*k\s, t) = 67>6<3) (q — k) | s, t), окончательно
получим
J/(0)*T/(0) T/(0)J/(0)*
R,t = (s', t'\ ЛМ<2,бгг-б(3) (k - k') + +
11 4 ’ 1 rr \ 7 1 (Ok fflk, 1
T/(0)T/<0)*
4- 2 6<3) (k - k') 6rr-1 S,t). (12.263)
qi 4
Эти четыре члена можно представить с помощью диаграмм, показанных на фиг.
15. Диаграмма а соответствует однократному действию члена
т>к \т',к' /г,к
ДМ
а
г
к,х Хт-.к г.--------------г»к
V-я __1
Ф и г. 15.
ДМ<2>, а диаграмма б —члену V*V и изображает процесс, в котором сначала
уничтожается падающий мезон, а затем рождается рассеянный мезон.
Диаграмма в соответствует процессу, когда сначала рождается рассеянный
мезон, а затем поглощается падающий (член VV*). Наконец, диаграмма а
соответствует процессу, в котором начальный мезон не взаимо-действует с
нуклоном, а нуклон испускает и поглощает (виртуальный)
374
Гл. 12. Простые модели в теории поля
мезон. Отметим, что член АМт в точности сокращается с членом собственной
энергии во втором порядке теории возмущений, т. е. с членом,
соответствующим диаграмме г, так что
Rn = («', f | [Fr'k*, FS] | s, (12.264a)
V (k'2) V (k2)
X
P2 У (2я)6 4cokcok,
X (•?', t' | (o-k') (o-k) tr-Tr — (o-k) (o-k') тгтг
s, t).
(12.2646)
Обратим внимание на вид амплитуды рассеяния в борновском приближении, в
частности, на ее зависимость от энергии мезона сок-. Амплитуда имеет
полюс при сок- = 0, а соответствующий вычет пропорционален /2. Используя
наши предыдущие результаты, равенства (12.247), (12.248) и (12.256а),
(12.2566), а также аналогичные соотношения для изотопических переменных,
из (12.2646) легко получить выражения для амплитуд рассеяния в состояниях
с определенным полным моментом и изотопическим спином. Обозначая эти
амплитуды через Т?2Г2т(«>), находим
Rn (со) = Rib (w) =
8 fl 4яА3]г(к2) |2 3 р2 2 (2л)3 сок '
2 fl 4лА3|г(к2)|2
3 д2 2 (2л)3 шк
R3l (w) = Rl3 (w),
4 fl 4яA31 v (k2) |2
Rbb (w) —
3 p2 2 (2я)3 cok
(12.265)
(12.266)
(12.267)
(12.268)
Так как J2, J3, T2, T3 сохраняются при рассеянии, то в представлении,
определенном с помощью /, /3, Т, Т3, А-матрица диагональна. Далее,
поскольку она унитарна, се собственные значения по модулю равны единице.
Поэтому, как обычно, пишем
</, Т, со' | А | /, Т, (o) = e2i6272T<®)6 (со' —со),
где &2J2T — фазы рассеяния (фазовые сдвиги).
По определению, Sfi = (1/i— 2niRfi)-b {Ef — Е{), откуда
(/ , Т', со ] 7? jТ', ш)=— — егб2Г2Т gin 62j'2r-
Следовательно, в данном случае
tft„ с 8 X fl | v (k2) J2 /с3
e“nsmo.|= 1 j—^—'J---
p2wk
ei633 sin 633 =
3 v 4л
^i3 = 5з1,
4 X fl
3 ^ 4л
2 ^ to 1 v (k2) I2 A3 A
p2cok
v (k2) I2 A3 ^ 4я p2cok J
(12.269)
