Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
видно из самой записи, уравнение (12.330) включает не только-амплитуды
рассеяния [т. е. не только Rjk\ s'v (/"k"’, s"t") при ©k' = ©k"]-Однако,
как отмечалось ранее, в модели Чу можно связать матричные элементы вне
энергетической поверхности с матричными элементами на энергетической
поверхности. Точнее,
где q — произвольный импульс, который можно выбрать и так, чтобы coq =
(ok.. Поэтому уравнение Лоу в статической модели (как в одноме-зонном
приближении, так и точное) можно записать только через наблюдаемые
величины, т. е. амплитуды рассеяния _(ге | Vjq | s, ?)+ при ?„ = шч + М.
В релятивистских теориях это невозможно, и уравнение Лоу там не так
интересно, так как оно является соотношением между матричными элементами
вне энергетической поверхности. В случае релятивистских теорий можно
вывести ряд других соотношений, которые известны как дисперсионные
соотношения. Они содержат матричные элементы только на энергетической
поверхности. Их мы рассмотрим в § 4. гл. 18. В одномезонном приближении
условие унитарности (12.303) принимает вид
j", k", s", i"
где ©к = ©к'- Состояния без мезонов не могут иметь энергию, совпадающую с
энергией какого-либо одномезонного состояния, щ поэтому не
Rjk,sl (/'k', s't') =
(12.330)
_()', к'; s', t'\V$ | s, 0+ =
if о r (k^) ki t1 2cok
v (k2) к
v (q2) я
_(/', к'; sT|(T,t,|s, t)+ =
Г, k'; 5', t'\V%\s, t)+, (12.331)
Ryk'.s't' (/k, st) — Rjk,st (/'k', s't’) =
= 2m S 6 (©k — ©k”) Ryk\ ,'r (/"k'\ s"t") /?jk, si (/"k", s"t"),
(12.332)
§ 4. Теория Чу и Лоу
387
вносят вклада в правую часть (12.303). Отметим также, что если
ограничиться энергиями Шк < 2р., то состояния с двумя и более мезонами не
могут давать вклад в правую часть общего условия унитарности (12.303),
так что при сок < 2р равенство (12.332) является точным.
Чтобы еще более упростить наши обозначения, обозначим нуклон-ные
переменные st одной буквой п, причем п пробегает значения от 1 до 4, и
будем рассматривать i?jk>«(/'к', п') как матричный элемент оператора
Д,к(/'к'), т. е.
i?*,n(/'k', n') = (n'\Rjk.{jrk,)\n). (12.333)
С учетом равенства (12.319) уравнение (12.330) в этих обозначениях
гласит:
(п1 | Я* (/'к') \п) = ^ ^ <га' 1 1 -
(п" I R .,к, d"k") I п’) (п" I Rjk (/"к") I п)
2 i <ot„—<ot, — ie
j", к", n‘
<n" I Rjk (/"k") [ n') in" \ Ryk, (/''к") I n)
uk'“
(12.334)
Обозначим, как и выше, (п" | Яук> (/"к") | п') через (п' | Я*к' (/"к") |
п"). Теперь можно просуммировать по четырем промежуточным нуклонным
состояниям и записать (12.334) в виде
i?jk(/'k') = -J-[yv, Vjk] —
tok
v {R}k, Ц"к") Rjk (/"k") R*k U"k") Ryk, (Гк")}
2j \ (0k Wk, — iE T (Ok„+(Ok, J • ' >
j,,k"
В дальнейшем мы будем сокращенно обозначать мезонные переменные /к одним
индексом, например (y'k') = q, (/k) = p, а оператор Яук(/'к'),
рассматриваемый как функция ov = z, через ГдР(г). Представим далее rqp(z)
в виде суммы членов, соответствующих состояниям с определенным полным
моментом количества движения и изотопическим спином, т. е. напишем
4
r<№(z) = -v(q2)v(p2)2 (Pi i)h«(z)> (12.336)
k P% a=l
где Pa — операторы проектирования для четырех состояний полного момента и
изотопического спина:
^u = jTPt4(<r-p)(<r-q)= JV2(q, p)^i/2(q, р), (12.337)
Лз = jTpTq[3p-q-(cr-p) (ст-q)] = (12.338)
Я31 = (бРЧ — |-TpTq)(cT-p)(cT.q) = (12.339)
Язз= (6Pq-y тРтч ) [3p —q—(e-p) (ff-q)) = dvifvi- (12.340)
Значок a соответствует (2/, 2/), где / — полный момент количества
движения, а / — полный изотопический спин. Если разложение /’qp(z)
(12.336)
388
Гл. 12. Простые модели в теории поля
подставить в условие унитарности (12.332), то последнее принимает вид lm
ha (nip) = V2 (р2) р31 ha (сйр) |2. (12.341)
Чтобы получить (12.341), нужно выполнить суммирование в правой части
условия унитарности (12.332). При этом используется тог факт, что кЫк (Шк
= как с?сок и тождество
^ <Шка-к(а-р)а-к = — (12.342)
Из (12.341) следует, что можно написать
lim - (12-343)
z->cOp-fie \г ) г
где ба (р) — действительные фазы.
Если в условии унитарности не использовать одномезонного приближения,
тогда Ьа(р) действительны и совпадают с обычными фазами рассеяния только
при (ор.<2р. Заметим, что даже при сор > 2р из условия унитарности
следует
1 -45^- (12'344>
где аа — полное сечение взаимодействия в состоянии а (включая все
неупругие процессы), нормированное так, что оно равно ^-sin26a в области
упругого рассеяния (ор< 2р.
Условие (12.310) для rpq, записанное как условие для ha (z), гласит:
4 4
2 Ра (q, р) ha(z) = 2 Ра (Р, q) К ( — z). (12.345)
а=1 а=1
Пользуясь определениями операторов проектирования Ра, (12.337) —
(12.340), можно проверить, что
^е(р. Ч)= 2 Аа$Ра (q, р), (12.346)
а=1
где «перекрестная» 4x4 матрица А есть
Так как А представляет собой матрицу отражения, то она обладает тем
свойством, что
2 bay (12.348)
p=i
Наконец, используя свойства ортогональности Ра, из (12.345) получим
соотношения перекрестной симметрии для функций ha(z):
ha(z)= 2 4арhfi(-z). (12.349)
