Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
k; s, t)+ удовлетворяет уравнению (12.275) и имеет нужное поведение в
особой точке, гарантирующее, что при t = -j- оо существуют только
расходящиеся волны. Аналогичным образом решение |/, k; s, 1)_,
соответствующее ин-решенню Липпмана — Швингера, есть
!/. к; .V, t'h = a*k\s, + t)+. '(12.283)
Заметим, что | s, t)+—\s, 1)_, ибо однонуклонное состояние стационарно,
так что S | s, t)+ = | s. t)_ = | .s% t)+.
Сравнивая (12.283) и (12.282), заключаем, что
[/, k; .s’, 0+ = |/. k; s, *)- + j_ M + Wk _// o_7e — 0+ =
= |/, k; .s', I)- — 2jti6 (M + cok — Я) F)k j s, t)+. (12.284)
Отсюда получаем, что А-матричный элемент для рассеяния, при котором мезон
в состоянии |/, к) и нуклон в состоянии | s, t)+ переходят соответственно
в состояния j/', к') и js', t')+, дастся выражением
+(/', к'; s', t' А |/, к; s, ?)+ =
= _(/', к'; s', t'\j, к; s, 1)+ =
= _(/', к'; .s', t'\j, к; s, t)- — 2ni-{j', k'; s', t' ] б (M + cok — H)
Fjk | s, t)+ = = 6jr6SS’6ir6{3) (k — k')— 2m6 (cok— tok-)-(/', k'; s', t'
| F)k | s, t)+ =
= 63у65Ь.'6(Г6(3> (к — к') — 2ni6 (шк- — cok) Rjk, st (/', k'; s', t’),
(12.285)
причем x)
RjKst(i'к ; S-'C) = _(/', k'; s', t' | F)k | s, *>+? (12.286)
При cok = cok' величина Rjk,st (j\ k'; s', !') = _(/', k'; s', t' j F)k j
s, t)+ является обычной /?-матрицей теории рассеяния. Но это не так,
когда (ok^(ok-. Однако поскольку
n> = A4p.ia.kT;, (12.287)
й у 2шк
зависимость Rjk,st(/'к'; s't') от к полностью известна. Множитель ко
(к2)/)/2сок можно вынести из матричного элемента, определяющего Rjk,st
(/', к'; s'F), а остающийся матричный элемент не зависит от к. Такая
факторизуемость есть особая черта модели Чу и происходит от пренебрежения
отдачей нуклона. Она означает, что величина Rfa.st (}', k'; s', t) при
сок Ф сок. тесно связана с Rjk,st (/\к'; s', t) на энергетической
поверхности, т. е. с амплитудой рассеяния, поскольку зависимость Rjt.st
(/', к'; s', t') от переменных к и / выделяется в виде известного
множителя. Этот факт оказывается в высшей степени важным для дальнейшего,
ибо он позволяет тривиальным образом связать значения
х) Для теории, которая не является теорией типа Юкавы (т. е. Iij не
линейно по ср), результаты изменяются следующим образом. Пусть 11 =Н0-\-
Вj, положим [Hi, a*k] = /r(k), тогда
Rlk,st(l'k’; = к'; s', г' I /г (к) | s, г>+
378
Гл. 12. Простые модели в теории поля
Вуц,si(/',k'; s', Г) на энергетической поверхности и вне ее. В
противоположность этому случаю зависимость обычной /?-матрицы от ее
переменных не факторизуется, и ее значения на энергетической поверхности
и вне ее связаны непросто. Если подставить в (12.286) выражение для k';
s', t' | из (12.283), то получим
•ftjk.st (/\ к'; s', t') = +(s', t' | Hj-k'Ejk | s, t}+-\-
+•<*'•«' i m m+J-h+t. n i «>*• <12-288>
Первый член в (12.288) можно представить в другом виде. Так как
[Н, ayv\ = - оw* - Vf?, (12.289)
то находим
Hayw ! s', t')+ = {Mayk> + [H1 а,--к-]} [ s', «')+ =
= {(M-M«j'k'-tTO[s', *'>+• (12.290)
Поскольку спектр оператора Н — М-\-а>к всегда положителен, то Н — М -)-
сок имеет вполне определенный обратный оператор и
аук. | s', Т)+ = -н_м + шк. V№ I s'’ *'>?• (12-291)
В теории типа теории Юкавы V и а коммутируют, поэтому равенство (12.291)
дает возможность^переписать В в виде
ЛП-Л*.
*>- (12.292)
В разложении теории возмущений первый член соответствует сумме всех
диаграмм, в которых линии падающего и рассеянного мезона не пересекаются,
а второй член соответствует сумме всех «перекрестных» диаграмм.
Используем в равенстве (12.292) условие полноты для собственных состояний
] я)_ полного гамильтониана
2 | п)_ _(п \ = 1, (12.293)
I п>_
где состояния с п = 0 соответствуют однонуклонным состояниям |0)_= | s,
?)_, состояния с п = 1 соответствуют состояниям рассеяния мезона на
нуклоне, а состояния с я = 2 соответствуют состояниям рассеяния с двумя
мезонами (описываемыми плоскими волнами) при (=со и т. д. Тогда.получим
В л
•к (/' к'- s' П У
Jk, st (/ , к , S , г ) - 2j { м + шк,—
_<га j Fjk | s, t) +
Г шк, —^„Н-ге |n>-
+ (s i | Vjk | га) <n I T- j'k' | s, Q +
M — <ot, — E„
} . (12.294)1)
!) Знаменатель второго члена в (12.294) никогда не обращается в нуль,
поскольку наименьшее значение Еп равно М. Поэтому, если это окажется
удобным, к этому знаменателю можно добавить член —ге, так как всегда
рассматривается предел при е—>0. v
§ 4. Теория Чу и Лоу
379
Рассмотрим далее матричный элемент ?)+ и покажем, что
при Еп = сокД М он в точности равен матричному элементу /?-матрицы для
процесса л + N —з> п.
Доказательство: Матричный элемент S-матрицы для рассеяния из начального
состояния |/, к; s, i)+ в конечное состояние ] п)_ имеет вид
где Rjn,st(n) при Еп = (ик + М есть матричный элемент /?-матрицы, а
Подставляя в левую часть равенства (12.295) вместо |/, k; s, i)+
выражение (12.284), получаем
Еще раз отметим, что зависимость Rjki st (п) от к факторизуется и
известна, так что матричный элемент _{п | F)k | s, i)+ при Еп Ф cot + М
