Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
нас прежде всего интересуют методы, не основанные на теории возмущений.
Наша следующая задача — рассмотреть предсказания модели Чу для рассеяния
мезонов на нуклонах. Сначала мы кратко изложим методы теории возмущений,
а затем методы, не основанные на теории возмущений, принадлежащие Лоу
[512], Вику [849] и Чу и Лоу [121].
Рассмотрим сначала рассеяние в низшем порядке теории возмущений, т. е.
борновское приближение. Нам нужно вычислить амплитуду рассеяния мезона из
начального состояния | k, i; s, i) = a.jk|s, t), в котором мезон имеет
импульс к и индекс изотопического спина i, в конечное состояние |к', /';
s', t') — ay^\s', t'). Так как Н0 и Hj инвариантны относительно вращений
в изотопическом пространстве, то матричный элемент перехода RSi =
{f\R\i), где
Rfi = (H'i)fi+ 2 'Ei-Ej-Jf ie №i)ji +. ‘ ‘ ’’ (12.215)
i (фг)
равен нулю, если начальное и коночное состояния не являются состояниями с
одним и тем же полным изотопическим спином н его третьей компонентой.
Поэтому полезно классифицировать состояния по значениям 73 и Т-,.
Легко построить собственные состояния Г2 и Т3, которые соответствуют
нуклону и одному мезону, не взаимодействующим друг с другом. Так как они
составляются из состояний с Г = 1 (мезон) и Т=72 (нуклон), то будет два
ряда мезон-нуклонных состояний: один с Т = 3/2, а другой с 1 = 1/2. Ясно,
что состояние с Т == 3/2 и Т3 = 3/2 соответствует состоянию | р; л4), т.
е. состоянию, составленному из протона и поло-
!) Метод графов используются во многих прикладных дисциплинах.
Математическую теорию графов см. в книге Берта [884]. — Прим. ред. •
§ 4. Теория Чу и Лоу
367
жителыю заряженного мезона.
Таким образом, если опустить импульсы частиц, то
|Г = |, Гз=--->=||, |> = | Р\^). (12.216)
Поскольку для системы мезон — нуклон
Т- ?-
= т_ + К2$ d4 ^ у" (а1к + га2к, )* а3к- & 1 / “ («1к -
г'й2к) J , (12.217)
находим
1 !• 4>- /| [ р\ я° >- Я+), (12.218)
1 3 1 2 : Р\ я- я°), (12.219)
1 3 1 2 ’ !>- ]га; я-). (12.220)
Общие фазы состояний здесь выбраны в согласии с выбором фаз в книге Бете
и Гофмана [54]. Состояние с Т = г/2, Т3 = 1/2 должно быть линейной
комбинацией | р\ я0) и | п\ я+), которая ортогональна состоянию j 3/„,
1/2) . Следовательно,
, у) = j I Р\ я°) 4- \f \ I я; л+) (12.221)
i j , - у> = ]/| | Р; п-) - | га; я0). (12.222)
Обратив эти равенства, получим
\р; «->= (12'223)
И
If* (12'224)
Так как оператор перехода R коммутирует с Т% (г = 1,
2, 3), то
амплитуда рассеяния R (Т', Г'; к, к', s', s), определенная
равенством
(Г", к", s"\R\T\ Т3\ к', s') = R {Г, Т'я; к", к', s", s') бт-т-б^у'
(12.225)
и соответствующая рассеянию из начального состояния с полным
изотопическим спином Т' и его проекций Т3, импульсом мезона к' и
проекцией спина нуклона s' в конечное состояние с теми же изотопическими
квантовыми числами, по с импульсом мезона к" и проекцией спина нуклона
s", не зависит от Т3.
Доказательство:
(Г, T3\T-RT+\T', Т'3) =
= {т'-т3)(f+r;-fi)(f, т3+ i\R\r, г; + 1) =
= <г, г; | 1 г, т3) =
. =(Г, г;|/?(г2-г32-г3) |Г', т;) =
= (г-т;)(г + г; + 1)<г, г;) (12.226а)
368
Гл-. 12. Простые модели в теории поля
и, следовательно,
(г, г; + 1|т?|г, г; + 1) = <г, r3\R\r, т;>. (12.2266)
Можно также сказать, что R есть скаляр в изотопическом пространстве, и
поэтому, согласно .’[теореме Вигнера — Эккарта (см., например, [671] или
[216]), имеют место правила отбора ДГ = 0* A7,3 = 0 и матричный элемент
не зависит от Т'3. Таким образом, рассеяние мезонов нуклонами описывается
амплитудами R (Г; к, к', s', s), где Т = 3/2 или 1/2. Связь между
амплитудами рассеяния для экспериментально наблюдаемых процессов
я+ + р-^я+ + р,
ЛГ + jD—+
я--f р —» я°-f я (перезарядка)
=д(3),
и амплитудами с определенным изотопическим спином следующая:
7? (я++ ря++ р) =-(я+; р jn+; р>+ = _(-|, 1
(12.227)
где R (3) —сокращенная запись Т?(3/2; к', к, s', s). Мы опустили
зависимость амплитуды рассеяния R от всех переменных, кроме Т.
Аналогично,
7?]( я- + р > л~ + р) =
= -(Я"Гр | я-; р>+ =
1/1 — 11\ / \ f — I -
Ч ’ 21] [К 3 1 2
1
1д(3) + -|д(1)
-> +
(12.228)
и
R (я- + р.—>я° + п) =
= -(я-; р | я0; п)+ =
1 /1 3 2 ’
О-
3 I 2
41}
?4>+}
(12.229)
Дифференциальные сечения процессов (12.227) — (12.229) выражаются
формулой
daba _ м2 I Rba I2
d Q
(2it)2
(12.230)
где Rba — матричный элемент R, соответствующий процессу а—>Ъ.
Формула (12.230) выводится следующим знакомым путем. Вспомним, что
вероятность перехода за единицу времени из состояния | г)
§ 4. Теория Чу и Лоу
369
в состояние |/) есть
wn = 2n,b{Et-Ei)\Rti\2. (12.231)
Нас интересует только вероятность перехода в совокупность конечных
состояний с энергией около Ef и с импульсами между и ку: —
Эта вероятность равна
w = ^ drifliib (Ef — Ei) | Rfi \2 —
= (12'232)
dn
Сечение рассеяния связано с w соотношением
, W аа = — , vi (12.233)
где ний Vi — kijсо; есть скорость падающего мезона, с импульсами между
к и k + dk есть Число конечных состоя-
