Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 171

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 165 166 167 168 169 170 < 171 > 172 173 174 175 176 177 .. 373 >> Следующая

сигнал, соответствующий входному сигналу в виде б-функции. Если
обозначить через г (со), t(со) и i (со) фурье-компоненты функций R, Т и /
соответственно, т. е.
+ СО
G(0 = -^- ^ g(<o)e-to'*o, (12.379)
— оо
то равенство (12.378) переписывается в виде
г (со) = t (со) i (со)
или
-fco
R®=ykr Sda e~iMt (“) i (“)
— oo
Принцип причинности можно сформулировать в виде следующего
утверждения: если I(t) = 0 при t < 0, тогда R(t) = 0 при t <
0. Так как
+ СО
i (со) == [ e™4(t)dt, (12.382)
у 2л J
— со
то для / (<) = 0 при t < 0 функция
со
i (со) = —4=- ^ еш1 (t) dt, (12.383)
у 2я .)
.0
рассматриваемая как функция комплексной переменной со = соА ш2, будет
аналитической функцией при lmco = co2>0, т. е. в верхней части
комплексной плоскости со. [Для простоты примем, что /(г) ограничена или
интегрируема с квадратом, чтобы интеграл (12.383) всегда сходился при со2
> 0.) •
Отметим далее, что из равенства (12.381) следует, что R (t) равна нулю
при t < 0, если функция t (со) i (со) аналитична в верхней полуплоскости
со1). Так как г (со) аналитична в верхней полуплоскости (а это
справедливо для всех входных сигналов, равных нулю при << 0), то система
будет причинной, если фурье-компонента t (со) функции Т (t) будет
аналитической функцией в верхней полуплоскости комплексной
(12.380)
(12.381)
г) И если t (со) i (ш) достаточно быстро убывает на бесконечности, чтобы
интеграл по верхнему полукругу стремился к нулю при стремлении радиуса к
бесконечности.— Прим. ред.
396
Гл. 12. Простые модели в теории поля
переменной со или, что эквивалентно, если Т (t) = 0 при t < 0, т. е. если
Т (t) — 0 (t) Т' (<), где 0 (<) = 0 при t < 0 и 1 при t > 0.
Поэтому, согласно
теореме Коши, для любого контура С, лежащего в верхней
полупло-
скости со, и любого со при Im со > 0 можно написать
‘«“гЛгй.'й- <12384>
с
Предположим, что поведение t (?) на бесконечности таково, что контур
можно превратить в контур большого полукруга и что вклад от
интегрирования по дуге полукруга равен нулю в пределе, когда радиус R
стремится к со. Тогда
+оо
S тВг«- (*2.385)
— СО
Наконец, поскольку мы интересуемся действительными значениями со, в
пределе при со-э-ссц + св, то получим
+ СО
lim t (co) = I(co1) _ __L Jim f =
co-HOi+ге e_>o+ J ?—W1—
— CO
+oo
(‘2-386>
— CO
откуда при действительных со
+ 03
' 'W = ~P ( (12.387)
— СО
Из (12.387) "следует
+ 0°
Re г (со) = Р J i^^dco', (12.388а)
—со
+ СО
Im t (<p) =-------- Р ^ da'. (12.3886)
— со
Так как
+оо
iImi(co)=-^- ^ Im t (со') слб (со — со') da’, (12.389)
— оо
то, складывая (12.388а) и (12.389), можно также написать
+ CQ
t (со) = — lim С da'. (12.390)
' Я . ,0+ ) со' —со—ге
Равенства (12.388) и (12.390) называются дисперсионными соотношениями и,
очевидно, полностью эквивалентны аналитичности t (со) при 1тсо>0 и
условию того, чтобы поведение t (со) на бесконечности было таким,
что ^ ~^Г" da-* 0 при R -* со.
§ 4. Теория Чу и Лоу
397
После этого предварительного отступления вернемся к описанию мезон-
нуклонного рассеяния. Амплитуда рассеяния определяет отклик системы при
рассеянии мезона на нуклоне (напомним, что [)_ = 6'|)+ и Да^-1). Поэтому
можно ожидать, что амплитуда RJT (со) (предполагается, что она определена
с помощью аналитического продолжения для всех значений со при lm со > 0)
подчиняется дисперсионным соотношениям. Однако благодаря койечным
размерам нуклона не амплитуда рассеяния, а функция ha (со) [т. е.
отношение амплитуды к и2 (к2) к3] удовлетворяет дисперсионному
соотношению
-f со
ha (CD) = — lim [ ]™ha{a'}-de)'. (12.391)
V я 0+ ,) со' — со — гв v '
в—>0 +
— СО
Покажем теперь, что уравнение (12.391) вместе с соотношением перекрестной
симметрии и условием унитарности в действительности является уравнением
Лоу. Поскольку последнее есть интегральное уравнение, в которое входят
величины, определенные лишь при ш > [х, т. е. при физических значениях м,
то прежде всего желательно переписать (12.391) таким образом, чтобы
интегрирование проводилось по си > [х. Соотношение перекрестной симметрии
гласит, что
Ла(-ю) = S ЛарМю). (12.392)
Поэтому (12.391) можно переписать в виде
1 jj 1тАа(ш')

1
М<о) = “+ 3 d(0'
со со
+ — [ dta'~Ap((0?- + — ё dm' У Лар —> (со) . (12.393)
я J со —о) — ;е я j р со —со v '
к к Р
Чтобы получить вклад от области | со | < [х, используем условие
унитарности, которое можно записать в виде
lm ha (со) а — я 2 йарЛРа6 (ш + М —?р), (12.394)
Р
где /гар — амплитуда процесса а—>-[3 (в этих обозначениях ha = haa)'
Ясно, что при {со j < [х в сумму правой части (12.394) вносят вклад лишь
однонуклонные состояния, так как для других состояний аргумент 6-функции
всегда не равен нулю. Используя эти результаты, получаем
lm ha (со) = яЯ,а6 (со) (| со | < (12.395)
и окончательно
/г« (со) = _L t da’ ([d'.) + -1- \ da'-y 4»Р ГшУ• (12.396)
х ' со 1 я J ш' — со —ге я j 4-J “р со -[-со v '
к к Р
А это и есть наше прежнее уравнение (12.354).
ГЛАВА 13
Приведение s-матрицы к нормальной форме
Предыдущая << 1 .. 165 166 167 168 169 170 < 171 > 172 173 174 175 176 177 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed