Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
описываются собственными состояниями Н. Если (разложить |4f<1)(p)) по
«голым» состояниям, т. е. по собственным состояниям тогда в разложении
могут появиться состояния лишь с тем
(12.6а) (12.66) (12.6в) (12. fir)
\ dkkft*(k)a(k) (12.6)
330
Гл. 12. Простые модели в теории поля
же собственным значением N$, что и у | Y(1’(p)}:
ОО
I 'Jr(i> (р)>=2 5dSq 5d3ki ? ? ? 5dsknC™ k*’ka’ • ? •kn)x
71—0
x —Ц- a* (kt) ... a* (k„) ф* (q)| 0). (42.11)
у nl
Амплитуда Сря) (q; kt, ... kn) представляет собой симметричную функцию
ki, ... kn и является амплитудой вероятности найти тяжелый квант с
импульсом q и п мезонов с импульсами ki, k2, ... кп:
с?' (q; ki, k2, ... k„) = —(01 a (k,) ... a(kn) ф (q) | Y(1)
(p)). (12.12)
У n\
Трансляционная инвариантность^ позволяет выделить из Cp^q; kt, k2, .. .
kn) в виде множителя 6-функцию, соответствующую сохранению импульса.
Доказательство'. Если ввести в (12.12) унитарный оператор
U (d) = eip,d, (12.13)
соответствующий сдвигу на величину d; тогда (0 | a (kt) ... a (k„) ф (q)
| Y(1> (р)> =
= <01 V* (d) U (d) a (ki) V* (d) U (d) ... ф (q) U* (d) V (d) | Y(1) (p)>
=
= e-i(ki+k2+ ... +k„+q-p)-d (Q | fl _ a ^ (q) | \jm>
(12.14)
Так как равенство (12.14) справедливо при любом d, то (01 а (к,) а (к2)
... a (кп) ф (q) | Y(1) (р)> =
= 6<3> (р — ki — к2 — . . . — к„ — q) cr(n) (q; ki, ... кл). (12.15)
Чтобы найти амплитуды с(я) или амплитуды с/(я>, заметим, что поскольку
|Y(1)(p)) должно быть собственным состоянием Я с собственным значением пц
#|Ya>(p)) = m*|Ya,(p)>, (12.16)
то амплитуды с<я> должны удовлетворять определенным уравнениям, которые
можно получить следующим образом. Рассмотрим коммутатор [a(ki)a(k2) . . .
а(кп)ф^), Я], взятый между состояниями |0) и |Ya’(p)):
(01 [a (kt) a (k2) .. . e(k„) ф(q), Я0-(-Я 1 |?a)(p)) =
П
= (2 ffl(k,) + mo)<0|fl (kt) a (k2) ... a (kn) ф (q) | ?ш(р)) +
i=l
+ WT 5 ТтЩ<01 “(k) “ <k') ? •' “ (k"> +'Я'-k) Iw'"(p)> +
n
+ li^r2 уЩу <° I«(*.) • ? • “ о ».«) ? ? ? о 0O X
X ф (q + кг) | Y(1) (p)) (12.17a)
= (01 a (ki) a (k2) ... a (k„) ф (q) | Y(1) (p)). (12.176)
§ 1. Скалярное поле
351
Равенство (12.17), будучи выражено через амплитуды Cpm(q; кь ... к„),
гласит:
^2 ® (к<) + то) срп) (ч; кь • • • к«) +
i—1
^ 5 тШсГ'(q -к; к'к-кг- ? ? к->+
— 7- 2 -Т/ли 4п'1) (ч + к«; к„ ... к,_„ кж, ... к„) =
Л(П)
Ср
(2л)3/2 /л ~ /2(0 (кЛ
г=1
= /ИфС^ (q; кь ... к„). (12.18)
Можно проверить, что
<q; к„ к„... к„, - yz e«>(q + J; kl _ Р) п
г=1 %=. 1
(12.19)
является решением полученной системы связанных уравнений, если
т^ = т0 — Х2А = т0 + б т,
Д “ ТгЬг S '*?’* * (12'20)
Величина Z есть постоянная нормировки. Ее значение будет определено ниже.
Однонуклонное состояние с импульсом р можно, следовательно, записать в
виде
[?(1,(р)) =
оо п
= Vz 2 -Цг°- 5 ^ S d*A‘ I rf3M<3,(p-2ki-q)x
п=0 г—1
П ' / (к?)
X П , 1 а* (kj) ... a* (к„) ф* (q) |0) (12.21а)
11 / 2 (2я)з из (кг) v v п/т кч/I / л I
i—1
^ ( <**9 \ d3zexp [t(q — р)-х]х
xelp{S !^SlIiFe‘l‘'’“*(k)}’l’*(q)|0> (12-21б)
Равенство (12.21) выражает физическое однонуклонное состояние в виде
суперпозиции «голого» состояния с одним квантом и невозмущенных состояний
с различным числом мезонов. Последние состояния, которые «сопутствуют»
тяжелому кванту, мы будем называть «облаком», которое тяжелый квант
приобретает благодаря взаимодействию Hj.
Постоянная Z определяется из условия нормировки 1
(?а) (р) | (р')> = 6(3) (р - р'). (12.22)
332
Гл. 12. Простые модели в теории поля
Подставляя равенство (12.21) в (12.22), находим
00 П п
Z{2 ^ dS9 S**!-- J ^6<3> (p-2 k;-q)6<3>(p'-2 ki-q)x
n:=0 г—1 ?—.I
•4, (-Ч2П Л I / (к!)Г21
Л [2(2я)3]"геГ П соЗ(кг) J
i—l
n=0
= 6<3’(p-p'), (12.23)
откуда
Z = e-^ (12.24)
и
L=(S)i-)
В случае точечного источника /(k)2=l и L логарифмически расходится.
Постоянная нормировки Z, пропорциональная (0 j ф (q) | Т41’ (р)), в
пределе стремится к нулю. Поскольку величину Z можно интерпретировать как
вероятность найти «голый» нуклон в физическом однонуклонном состоянии,
то эта вероятность в пределе точечной частицы равна нулю.
Стремятся к нулю и другие компоненты (^“(р)) в гильбертовом
про-
П
странстве натянутом на базисные функции П а* (к,) ф* (q) 10), кото-
г=1
рые являются собственными функциями II0. Таким образом, | Та| (р) уже не
лежит в гильбертовом пространстве е%?0. Такое положение сохраняется до
тех пор, пока /(к2) не обеспечивает сходимость L.
Чтобы понять, что получается, рассмотрим такой случай, когда есть только
один нуклон, локализованный в начале координат. Тогда гамильтониан можно
взять равным
II = т0 + \ d3ka (к) а* (к) а (к) + _ Х \ -^=- (а (к) -f-д * ( - к)).
(12.26) J (2л) u J ;у 2со (к)
Снова можно проверить, что вектор
со
|T) = V/Z У \( — \dsk--rJdML^ a*(k)Y|0) (12.27)
n=o ” /2(2я)зшз(k) v 'J ' v '
является собственным вектором Н с собственным значением т0 — к2А и что Z
дается выражением (12.24). Поэтому опять Z—> 0, если / —-1. Запишем
теперь гамильтониан (12.26) в виде
